Kubische Gleichung: w^3 + 18w + 19 = 0. Ansatz w = u + v von Cardano benutzen.

Question

Ich benötige Hilfe bei kubischer Gleichung!

Wir betrachten die kubische Gleichung
w^3 + 18w + 19 = 0 (*):
Fuhren Sie den Ansatz w = u + v von Cardano durch und leiten Sie hieraus zwei Gleichungen
fur u und v ab. Losen Sie das Gleichungssystem fur u und v und berechnen Sie
die sich hieraus ergebenden Losungen fur die kubische Gleichung (*).

 

Answer 1

w^3 + 18·w + 19 = 0

mit w = u + v

(u + v)^3 + 18·(u + v) + 19 = 0

(u^3 + 3·u^2·v + 3·u·v^2 + v^3) + (18·u + 18·v) + 19 = 0

u^3 + 3·u^2·v + 3·u·v^2 + 18·u + v^3 + 18·v + 19 = 0

u^3 + 3·u^2·v + 3·u·v^2 + 18·u + v^3 + 18·v + 19 = 0

(u + v + 1)·(u^2 + 2·u·v - u + v^2 - v + 19) = 0

Jetzt das Gleichungssystem aufstellen

u + v + 1 = 0
u + v = -1
w = -1

u^2 + 2·u·v - u + v^2 - v + 19 = 0

Hier wird die Diskriminante negativ. Also gibt es keine weitere Lösung.