Supremum, Infimum, Maximum und Minimum: {x∈R: x^2 - 6x -8 < 0} und { (x/4^y) : x,y ∈ N , x≤y}

Question

Überprüfe, ob die folgenden Mengen reeller Zahlen nach oben bzw. nach unten beschränkt sind, bestimme ggf. Supremum und Infimum und überprüfe ob diese ein Maximum oder Minimum sind:

{x∈R: x^2 - 6x -8 < 0}

und
{ (x/4^y) : x,y ∈ N , x≤y}

Was muss ich hier machen, um das zu überprüfen?

Comments

Hi, bei der ersten Aufgabe solltest Du vielleicht zunächst die Ungleichung lösen, um zu sehen, um welche Menge es überhaupt geht, bei der zweiten Aufgabe könntest Du ein paar Werte einsetzen, um Dir mal ein paar Beispiele zu verschaffen.

PS: Ok, Ich sehe gerade, dass Du nur wissen wolltest, wie man die Max/Min-Eigenschaft überprüft. Dazu muss geprüft werden, ob das Sup. bzw. das Inf. Elemente der betrachteten Menge sind.

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Hilft mir bisher leider noch nicht weiter. Könntest du das vielleicht an einem Beispiel oben oder an einem anderen Beispiel zeigen, wie das geht? Bin mir nämlich auch unsicher, wie ich das dann aufschreiben muss.

Die Lösung der ersten Ungleichung ist im Übrigen 3-√17 < x < 3+√17

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Gut, die Menge, von der in der ersten Aufgabe die Rede ist, ist die von Dir angegebene Lösungsmenge. Sie ist offenbar sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt. Infimum und Supremum hast Du schon angegeben. Diese können nicht Minimum bzw. Maximum sein, da sie nicht zur betrachteten Menge gehören können, da diese ein offenes Intervall ist.

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Danke für deine Antwort!

Soll das heißen, dass ich Supremum und Infimum einfach nach ausrechnen ablesen kann?
Wie kann ich eigentlich bei einem offenen Intervall erkennen, was zur Menge gehört oder nicht?

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zur ersten Frage: In dieser Beispielaufgabe kannst Du das so machen, in anderen musst Du anders vorgehen.

zur zweiten Frage:
Sei I ein halboffenes Intervall mit I = { x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 7 } = ] 2 ; 7 ].
Dann gehören etwa die Zahlen 1, 5/4, 3 und 10 nicht dazu,
5/2, 5 und 7 aber schon.

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Gut, danke erstmal. Dann werde ich die andere Aufgabe mal selber versuchen