Ungleichung 2/x ≥ x +1

Question

folgende Ungleichung:

2/x >= x +1

Kann mir jemand beschreiben wie man hier vorgeht.(insbesondere für den Fall, wenn x <0)


 

Answer 1

2/x >= x +1

( x = 0 muß ausgeschlossen werden und darf
in der Lösungsmenge nicht vorkommen )

1.Fall : x > 0
2/x >= x +1  | * x
2 >= x^2 + x
x^2 + x <= 2  |  quadratische Ergänzung
x^2 + x + ( 1/2)^2 <= 2 + 1/4
( x + 1/2 )^2 <= 9/4
x <=  1
x >= -2
( -2 <= x <= 1 ) und ( x > 0 ) ( Eingangsvoraussetzung )
0 < x  <= 1

2.Fall  x < 0

Im 1.Fall kam der Bereich -2 <= x <= 1 heraus.
Im 2.Fall wäre die Bereiche
x >= 1 und
x <= -2

( x >= 1 ) und ( x < 0 ) keine Schnittmenge
( x <=-2 ) und ( x < 0 ) : x <= -2

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 2

2/x ≥ x + 1

Zunächst mal darf x nicht 0 sein. 

Wir multiplizieren mit x. Für x < 0 kehrt sich dabei das Ungleichheitszeichen um.

2 ≤ x² + x

x² + x - 2 ≥ 0

x ≤ -2 ∨ x ≥ 1 --> x ≤ -2

Für x > 0 bleibt das ungleichheitszeichen so stehen.

2 ≥ x² + x

x² + x - 2 ≤ 0

-2 ≤ x ≤ 1 --> 0 < y ≤ 1

Damit ist die Lösung

x ≤ -2 ∨ 0 < x ≤ 1

Answer 3

 

Merke: Wenn Du bei einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst, dreht sich das Zeichen um. Also aus < wird dann >. Und aus ≤ wird ≥.

Also:

 

1. Fall: x<0

$$\frac{2}{x} \leq x+1 \text{ | *x auf beiden Seiten (x<0, x ist negativ)}$$

$$2 \geq x^2 + x$$

$$2 + \frac{1}{4} \geq x^2 + x +\left( \frac{1}{2} \right)^2 \text{ Benutze 1. binomische Formel}$$

$$2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \geq \left(x + \frac{1}{2} \right)^2. \text{ Ziehe die Wurzel}$$

$$\Rightarrow x \geq -2 \text{ und } x \leq 1 \text{ Muss in in Fall 2 }$$

 

2. Fall: x>0

 

$$\frac{2}{x} \geq x+1 \text{ | *x auf beiden Seiten}$$

$$2 \leq x^2 + x$$

$$2 + \frac{1}{4} \leq x^2 + x +\left( \frac{1}{2} \right)^2 \text{ Benutze 1. binomische Formel}$$

$$2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \leq \left(x + \frac{1}{2} \right)^2. \text{ Ziehe die Wurzel}$$

$$\Rightarrow -2 \leq x \leq 1$$

Comments

Ich hab ein paar Schritte ausgelassen, die du selber erarbeiten sollst ;-)

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@legendär
Die Ausgangsgleichung hieß
2/x >= x +1
Du hast in Fall 1.) eine falsche Ausgangsgleichung
verwendet.
mfg Georg

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Oh, habe \geq mit \leq vertauscht ;.; Danke