Gemäß Tipp von nouse:
Ein Graph heißt planar, falls er ohne Überschneidungen in der Ebene gezeichnet ist.
Ein Graph ist plättbar, wenn er überschneidungsfrei in die Ebene gezeichnet werden kann.
Es ist nicht möglich!
Beweis: Angenommen, wir könnten diesen Graphen als planaren Graphen zeichnen. Dann hätte dieser n = 6 Ecken, m = 9 Kanten, und nach der Eulerschen Polyederformel könnten wir die Anzahl der Länder ausrechnen: 2 = n – m + g = 6 – 9 + g, also g = 5.
Jedes Gebiet des Graphen muß eine gerade Anzahl von Ecken haben, denn Häuser (rote Punkte) und Versorgungswerke (grüne Punkte) wechseln sich ab. Daher hat jedes Gebiet mindestens 4 Ecken und also auch mindestens 4 Kanten. Daher gilt ∑m(L) ≥ 4g und daher 2m ≥ 4g.
In unserem Fall bedeutet dies 18 = 2m ≥ 4g = 20. Dieser Widerspruch zeigt, dass K3,3 nicht plättbar ist.
Der gute alte Euler, unglaublicher Kerl!
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Ich wollte zuerst mit Jordanischem Kurvensatz ansetzen, aber das wäre wohl nichts geworden :)
