Integralfunktion größer f ( x ) * x

Question

Die Aufgabe ist eine Teilaufgabe aus der Abiturprüfung 
Leistungskurs II Bayern 1989.

Die Aufgabe ist ohne die Berechnung des Integrals zu lösen

Leider habe ich den Nachweis noch nie erbringen können.

f ( x ) = ( 2 * e^x ) / ( 1 + e^{2x} )

Integralfunktion
F ( x ) = ₀^x∫ f ( t )  dt

Für x > 0 gilt F ( x ) > x * f ( x )
Begründen Sie diese Aussage anschaulich mit Hilfe einer
Flächenbetrachtung. Zeigen Sie, dass sich die Graphen G_F
und G_f im Bereich 0 < x < 1 genau einmal schneiden.

mfg Georg

Comments

Hi georg,

Also du darfst das nicht nachrechnen, sondern du musst das über Flächen machen?

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@legendär
Irgendwie,ohne Aufstellung des Integral.
Der Graph z.B: von f (x) kann gezeichnet werden.
mfg Georg

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Ja klar kann der gezeichnet werden. Nimm doch nen Funktionsplotter ;-) Wenns erlaubt ist.

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Nochmals die Vorgaben :
die Aufgabe ist ohne die Aufstellung der Integralfunktion zu lösen.
f ( x ) kann gezeichnet werden.

Über eine LÖSUNG würde ich mich freuen.

mfg Georg

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Hi, es ist F(x) > x _* f(x)   ⇔   F(x) / x > f(x)  für x > 0.

Damit steht auf der linken Seite der Integralmittelwert.
Vielleicht hilft das weiter. Vergleiche dazu vielleicht auch
https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Integralrechnung

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Hier mal der Graph zu f(x) = (2*e^x) / (1 + e^2x):

Laut Plotter-Programm nähert sich die Fläche ≈ 1,5708 an.

(2*e^ x)/(1+e^ (2*x))

Answer 1

f(x) = 2·e^x/(1 + e^{2·x})

Zeichne mal den Graphen für x > 0

Zeichne dir jetzt mal eine beliebige stelle x = u ein.

Dann zeichnest du ein was Du mit

∫ (0 bis u) f(x) dx berechnest

Und du zeichnest ein was du mit

u * f(u)

berechnest.

Dann überlegst du dir warum das erste immer größer sein muss als das zweite und überlegst wie du das zeigen kannst.

Comments

x * f ( x ) ergibt ein Rechteck unterhalb der Funktionskurve.
Die Integrationsfläche ist immer ein Stück ( oberhalb des
Rechtecks ) größer. Danke.
Bliebe noch der 2.Teil der Frage zu klären.
Ich gehe jetzt erst aber einmal zum Mittagessen.
mfg Georg

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Was kannst du über die Monotonie von f und F aussagen?

Was kannst du über die Funktionswerte von f und F an der Stelle 0 und an der Stelle 1 aussagen?

Was folgt aus diesen beiden Aussagen über die Schnittpunkte von f und F im Bereich von 0 bis 1?

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Was kannst du über die Monotonie von f und F aussagen?
f ist fallend ; F ist steigend

Was kannst du über die Funktionswerte von f und F an der Stelle 0 und an der Stelle 1 aussagen?
f ( 0 ) = 1; F ( 0 ) = 0
f ( 1 ) = 0.65 ; F ( 1 ) = kann ich keine exakte Aussage machen. Entspricht der
Fläche zwischen 0 und 1. Aus der Skizze GESCHÄTZT 0.8.
Reicht das als Beweis ?

mfg Georg

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Der Nachweis fiel mir doch noch  ein

Wir hatten bewiesen

F ( x ) > x * f ( x )
für x = 1 gilt
F ( 1 )  > 1 * f ( x )
F ( 1 ) > f ( 1 )

Dann hätten wir´s also.

mfg Georg