Welche reellen x erfüllen die Ungleichung |x+1| < x*|x-2|?

Question

Guten Morgen

Ich habe die Ungleichung |x+1| < x*|x-2| . Ich hab das Richtige Ergebnis vom Professor schon bekommen, aber ich komm nicht auf den Lösungsweg.

Kann mir dabei jemand aushelfen?

!

Answer 1

Vorüberlegung : Die beiden Beträge sind stets größer null.
Damit die Ungleichung stimmen kann muß x auch positiv sein.

Ist x > 0 dann können beim 1.Betrag die Betragszeichen entfallen
da x + 1 auch positiv ist

Als Ergebnis habe ich herausbekommen x > 3.303.

Wie ist die Lösung deines Profs ?

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

Comments

jap, genau das ist die lösung die ich rausbekommen sollte. ich bin nicht auf die erweiterung zur binomischen formel gekommen :/

Vielen dank!!

Answer 2

Mach eine Fallunterscheidung.

1. Fall: x<2

2. Fall: x>2

3. Fall: x=2

Comments

Das hilft mir leider nicht bei meinem eigentlichen Problem. Vielleicht hätte ich die Frage besser stellen sollen. Im rechten Teil hab ich ja das  x*|x-2| das bringt mich beim lösen ganz aus den konzept. Dann hab ich da beim Fall x>2 stehen: 1< x²-3x  und komm dann nicht mehr weiter... Ich steh grad total auf dem schlauch

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pq-Formel.   .

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dann hab ich raus 1<3. wie soll ich das jetzt interpretieren? und das passt gar nicht zum Ergebnis vom Professor

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Wie bist Du denn auf dieses Ergebnis gekommen?

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1.Fall x>2

x+1 < x*(x-2)   |klammer auflösen |-x

1< x²-3x

in die pq-formel eingesetzt:

x₁₂=+1,5 +- 1,5

x₁=3

x₂=0

daher 1<3

oder bin ich mal wieder auf dem falschen weg?

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Um die pq-Formel einzusetzen, muss erst auf einer Seite Null stehen.

1< x²-3x

0 < x^2 - 3x - 1

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Hi, die Ungleichung

1 < x²-3x

muss zunächst umgeformt werden auf

0 < x²-3x-1

Jetzt erst darf man die pq-Formel anwenden.
Die Lösungsmenge ist ein offenes Intervall.

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@lengen..där
Eine allgemeine Bemerkung
1.Jeder kann in diesem Forum Mathe-Fragen stellen
2.Jeder kann hier Antworten einstellen. In seinem Stil und
Art und Weise wie es ihm beliebt.
Du gibt relativ häufig geniale Antworten in einem Satz.
Davon hat der Fragesteller, wie in diesem Fall, mitunter
nichts.
Ich meine man sollte Antworten auf dem vermuteten Kenntnis-
stand des Fragestellers so klar wie möglich geben
damit dem Fragesteller die Antwort auch weiterhilft.
mfg Georg

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Man kann auch argumentieren, dass der Fragesteller von deinen Komplettlösungen nichts hat als die Lösung zum Abschreiben. Davon hat der Fragesteller kurzfristig was. Während Legen...där versucht die Problemstellen zu umschiffen damit der Fragesteller es selber schaffen kann, davon hat er wohl länger was. (Besseres Merken durch Selbermachen, Erfolgserlebnis etc.) Aber wie du schon selbst in 2. sagst, jeder möge so antworten wie er meint.

Answer 3

 |x+1| < x*|x-2|

Unterscheide die Fälle 

1. Fall x< -1

 -x-1 < x*(2-x)

-x -1 < 2x - x^2

x^2 - 3x - 1 < 0

Graph. Linke Seite: Nach oben geöffnete Parabel. Ungleichung zwischen Nullstellen erfüllt.

Nullstellen linke Seite

x_1,2 = 1/2 ( 3 ± √(9+4))

x₁ = 1/2 (3+√13) positiv

x₂ = 1/2 (3- √13) = -0.3027756

Kein Wert zwischen x1 und x2 passt zum 1. Fall x<-1. Daher L1={}.

2.Fall -1 < x< 2

x+1 < x(2-x)

…

3. Fall x > 2

x+1 < x(x-2) 

…

4. Fall x=-1

 |-1+1| < (-1)*|-1-2|      falsch L4 = {}

5. Fall x=2

 |2+1| < 2*|2-2|   falsch L5={}

Insgesamt: L = L1 u L2 u ... L5

Rauskommen sollte https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%7Cx%2B1%7C+%3C+x*%7Cx-2%7C+

D.h., dass du nur im 3. Fall Lösungen bekommen wirst. Also L = L3.