Beweisen Sie, dass lim_x->0 x^x=1

Question

Beweisen Sie, dass $$ lim{ x }_{ \searrow 0} x^x=1  $$

Beweis. Es gillt: $$ x^x=e{  }^{ xlogx }, x>0 $$

Naja ich weiß, dass wenn x im Exponent steht, dass man dann logarithmieren kann, also den logarithmus zur Basies e, also ln, oder? Das ist das doch hier oder? Und wieso dann x>0?? Oo

wieso haben die denn nicht ln geschrieben??

wie geht es weiter? Oo

Answer 1

Hi Emre,

Jein. Dann kann man schon logarithmieren, aber das selbst bringt nichts, da Du keine Gleichung hast. Viel mehr kannst Du das ganze "umschreiben". Dazu ln und e-Funktion nutzen, die sich ja gegenseitig aufheben.

Das hat nun den Vorteil, dass Du einfach den Exponenten anschauen darfst. Tun wir das gerade mal separat.

$$\lim x\ln(x) = {\text{l'H}} = \lim \frac{\ln(x)}{\frac1x} = \lim\frac{\frac1x}{-\frac{1}{x^2}} = \lim -x$$

Für die Betrachtung, dass x->0 geht, ist der Exponent also 0.

$$\lim e^{x\ln(x)} = e^0 = 1$$

Grüße

Comments

Hi Unknown :)

endlich mal wieder eine Antwort von Dir :)

ehm leider hab ich das jetzt direkt nicht verstanden :(

wie kommst Du jetzt auf den Teil mit

lim x ln(x)= lim (lm(x))/(1/x)= lim ....... = lim -x???

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Hallo unknown,

  zu Nachvollziehen : du hast in deiner Lösung  l ´Hospital angewendet
und bist dann für

  lim x -> 0  [ x * ln ( x ) ] = -x gekommen und somit e^0 = 1

  Bingo. mfg Georg
 

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Sry, mit meinen Klammern hat es das geschluckt was da noch stehen sollte :P. Passt nun^^.

l'H steht dabeo für l'Hospital.

Damit klarer? ;)

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Darf ich noch.fragen was beim limes dieses schiefe pfeil da ist???

Von der aufgabe ist auch eine lösung.da aber ich verstehe die lösung nivht. Wollt ihr.es mal vielleicht sehen???

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Hast Du meinen Lösungsweg nun verstanden (kennst Du l'Hospital überhaupt)^^.

Kannst gerne mal zeigen. Mein Weg ist hier aber bestimmt der übliche?!

Das bedeutet "Rechtsseitiger Grenzwert". Du schaust Dir die zu untersuchende Seite also von rechts an. Unter Umständen kann nämlich eine Seite gar nicht definiert sein (wie hier) oder verschieden zur anderen Seite sein. Oft auch mit x->0⁺ beschrieben.

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Ehmm jaa also ich hatte mir mal eine aufgabe  zu l'H angeguckt ..war aber schon lange her. Muss mal wieder schauen ob ich das  noch kann :) 

Ich muss leider kurz raus :( 

Ich zeig dir dann die.seite 

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Ist auch kein Schulstoff, soweit ich weiß. Also besteht darin keine Notwendigkeit ;).

Yup

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Ah hier

http://analysis.math.uni-kiel.de/vorlesungen/ana1.11/Klausur-Magdeburg-Loesung.pdf  Aufgabe 4

naja soweit ich weiß ist es in Hessen Schulstoff l'H also steht in mein Mathr LK buch ^^

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Ui,

dann wirst Du mir/uns was voraus haben! :)

Was die dort machen ist auf das Skript verweisen. Das wird aber mit Sicherheit so hergeleitet wie bei mir. Das von mir ist also die ausführliche Variante von dort ;).

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Hmm ich weiß leider nicht genau was Du hiermit meinst: "

Ui,

dann wirst Du mir/uns was voraus haben! :)" Meinst du damit, dass in Hessen auch l'H Schulstoff ist? ^^

uhh juhhu danke Unknown :)

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Genau, das meinte ich^^.

Damit habe ich auch mal wieder was beantwortet. Deine allgemeinen Fragen überlasse ich anderen :P. Stochastik sowieso.

Gerne

Answer 2

Vielleicht mal ein Versuch mit einem einfachen Beweis

z^n / z^n = z^{n-n} = z^0
z^n / z^n  = ( z / z )^n = z/z * z/z * z/z ... = 1 * 1 * 1 ... = 1= z^0

mfg Georg

Comments

Hmm verstehe.... das habe ich jetzt verstanden :)

Super, aber könntest Du auch mal versuchen, so wie oben?? :)

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Hi Georg,

ich mag natürlich aufm Schauch stehen, aber was das mit der Frage zu tun hat, ist mir nicht klar. Immerhin haben wir im Exponenten und in der Basis eine Variable. Bei Dir ist die Variable nur die Basis?!

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Hallo emre,

  ist das ein Beweis den du in einem Buch gefunden hast ?

  Üblicherweise kenne ich das Verfahren beim ABLEITEN.

  [ x^x ] ´ = [ e^{x*ln[x]} ] ´ = e^{x*ln[x]} * ( x * ln (x ) ) ´ 
  e^{x*ln[x]} * ( ln (x ) + x * 1/x )
  [ x^x ] ´= x^x * ( ln (x ) + x * 1/x )

  Wie man das Verfahren für deinen limes gebrauchen kann
wüßte ich jetzt nicht.

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Hi Georg,

nein,das ist kein Beweis aus einem Buch. Ich habe einfach mal nach "Musterlösungen Klasur Analysis 1" gegoogelt und das gefunden. Da hats mich interessiert. Seit neustem interessieren mich Beweise Oo

:)

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@unknown
in der Fragestellung  hieß es
lim x -> 0  [ x^x ] 
Die Basis geht gegen 0 und der Exponent geht gegen 0
Ich habe emre eine " einfache " Überlegung x^0 = 1
aufzeigen wollen.
Sicherlich müßte man die Sache noch genauer
betrachten ob dies nur für natürliche Zahlen
gilt oder auch für die 0, oder auch für alle ganzen
Zahlen usw.
Deine Lösung ist besser.
mfg Georg

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Ah ok. Halte ich aber schon alleine deshalb für problematisch, weil Du dennoch iwann von 0^0 ausgehen musst (?) und das unbestimmt ist, weswegen Du nicht weißt inwiefern Du das im Nenner verwenden darfst. Bedenklicher ist sogar, dass Du gar nicht weißt, welche Null "stärker" ist. Einfaches Beispiel was ich meine:

lim_x->0 x*(1/x) = 1

Mit Deiner Argumentation hätte ich da eher ein Streben gegen 0 erwartet :).

Grüßle