Steckbriefaufgabe. Polynom 4. Grades. Kenne 3 Nullstellen und Hochpunkt. Gaußverfahren.

Question

Die Funktiongleichung durch Gaußverfahren ermitteln

ich habe ein kleines Gaußverfahren Problem.

Folgendes ist gegeben:

f(x)= ax⁴+bx³+cx²+dx+e

P₁(-4/0)   P₂(4/0)  P₃(8/0)  P₄(0/8)

Folgendes habe ich bereits getan:

f(-4)= a(-4)⁴+b(-4)³+c(-4)²+d(-4)+e=0                                                                                                                             = 256a- 64b+ 16c-4d+ e = 0

f(4)=  a(4)⁴+b(4)³+c(4)²+d(4)+e=0                                                                                                                            = 256a +64b+ 16c+ 4d+ e = 0 

f(8) =  a(8)⁴+b(8)³+c(8)²+d(8)+e=0                                                                                                                        = 4096a + 512b + 64c + 8d+ e= 0

Das Problem bzw. die Aufgabe:

Soweit bin ich gekommen allerdings weiß ich nicht wie ich es mit den Gaußverfahren verbinden soll und wie am Ende die Funktionsgleichung entstehen soll. Ich würde mich sehr freuen wenn sich jemand bereit erklärt und mir hilft.

und liebe Grüße

EDIT (Lu) Präzision aus Duplikat:

Die Aufgabe lautet:

nach einer Sturmflut soll der beschädigte Deich an der Küste erneuert werden. Dabei sollen festgelegte Bedingungen eingehalten werden: Für die Form der Deichkurve im Intervall ⌈-4; 8⌉ wird angenommen, dass sie einer ganzrationalen Funktion f 4.Grades entspricht, die bei x=0 einen Hochpunkt hat. Bei x=-4, x=4 und x=8 liegen Nullstellen. Für genauere Angaben in den Bauplänen wird die Funktionsgleichung von f benötigt.

Comments

f(x)= ax⁴+bx³+cx²+dx+e

P₁(-4/0)   P₂(4/0)  P₃(8/0)  P₄(0/8)

Wenn du Nullstellen gegeben hast, ist es viel einfacher einen faktorisierten Ansatz hinzuschreiben.

f(x) = a(x+4)(x-4)(x-8)(x-k)

=a(x^2- 16)(x-8)(x-k)              |ausmult.

=a(x^3 -8x^2 - 16x + 128)(x-k)

= ax^4 ...... - 128ak

Wegen P4 weisst du zudem

f(0) = a(4)(-4)(-8)(-k) = 8 = e

-16ak = 1

Kommst du so klar?

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Wegen P4 weisst du, dass e gleich 8 ist.

Du kannst aber bei 4 Punkten noch nicht eine eindeutige Funktionsgleichung (5 Unbekannte) bestimmen.

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Also wird es nicht mit dem Gaußverfahren berechnet

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Schau mal hier https://www.mathelounge.de/79540/gaussverfahren-mit-4-punkte

Da hattest du 4 Punkte für eine Funktion 3. Grades.

Wenn das nun 4. Grades sein soll, gibt es voraussichtlich unendlich viele Lösungen.

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Hi, die Lösung wird wohl nicht eindeutig sein, da zu wenige Bedingungen gegeben sind. Immerhin hast Du drei von vier möglichen Nullstellen, so dass ein Produktansatz interessant erscheint...

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Das gibt wie gesagt unendlich viele Lösungen.

Was steht da ganz genau? Suchst du eine Funktion 4. Grades oder alle?

Wenn du nur eine brauchst, kannst du einfach mal a=1 annehmen. Wegen P4 ist e gegeben. Nämlich 8. Du suchst dann nur noch 3 Unbekannte.

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Die Aufgabe lautet:

nach einer Sturmflut soll der beschädigte Deich an der Küste erneuert werden. Dabei sollen festgelegte Bedingungen eingehalten werden: Für die Form der Deichkurve im Intervall ⌈-4; 8⌉ wird angenommen, dass sie einer ganzrationalen Funktion f 4.Grades entspricht, die bei x=0 einen Hochpunkt hat. Bei x=-4, x=4 und x=8 liegen Nullstellen. Für genauere Angaben in den Bauplänen wird die Funktionsgleichung von f benötigt.

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die bei x=0 einen Hochpunkt hat. 

Hier hast du die entscheidende Information für die fehlende Gleichung.

Hochpunkt heisst f ' (0) = 0.

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Ehrlich gesagt hilft mir das nicht viel ich verstehe es gar nicht und bin am zweifeln :/

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Wegen H(0,8) gilt

f(0) = e = 8

und

f ' (0) = 0

f ' (x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

f ' (0) = d = 0.

Somit bleibt von deinem LGS:

256a- 64b+ 16c+ 8 = 0

256a +64b+ 16c+ 8 = 0 

4096a + 512b + 64c +8= 0

oder

256a- 64b+ 16c = -8           (I)

256a +64b+ 16c = -8          (II)

4096a + 512b + 64c = -8      (III)

(I) - (II)

-128 b = 0 =====> b = 0

256a + 16c = -8          (II)

4096a + 64c = -8      (III)       :4

256a + 16c = -8          (II)

1024a  + 16c = -2      (III)'      

-------------------------------(III) - (II)

768a = 6

a= 1/128

in (II)

2 + 16c = -8

16c = -10

c = -10/16 = -5/8

Gesuchte Funktionsgleichung

f(x) = 1/128 x^4 - 5/8x^2 + 8

Bitte selbst kontrollieren

Answer 1

Wegen H(0,8) gilt

f(0) = e = 8

und

f ' (0) = 0

f ' (x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

f ' (0) = d = 0.

Somit bleibt von deinem LGS:

256a- 64b+ 16c+ 8 = 0

256a +64b+ 16c+ 8 = 0 

4096a + 512b + 64c +8= 0

oder

256a- 64b+ 16c = -8           (I)

256a +64b+ 16c = -8          (II)

4096a + 512b + 64c = -8      (III)

(I) - (II)

-128 b = 0 =====> b = 0

256a + 16c = -8          (II)

4096a + 64c = -8      (III)       :4

256a + 16c = -8          (II)

1024a  + 16c = -2      (III)'      

-------------------------------(III) - (II)

768a = 6

a= 1/128

in (II)

2 + 16c = -8

16c = -10

c = -10/16 = -5/8

Gesuchte Funktionsgleichung

f(x) = 1/128 x^4 - 5/8 x^2 + 8

Bitte selbst kontrollieren

und Skizze auf https://www.wolframalpha.com/input/?i=+1%2F128+x%5E4+-+5%2F8+x%5E2+%2B+8

am richtigen Ort abschneiden.

Comments

Ich habe nur eine Frage ich verstehe nicht genau die Berechnung wo man b herauskriegt und woher

 1024a  + 16c = -2      (III)'      

kommt

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Ich zitiere den Rechenweg

256a- 64b+ 16c = -8           (I)

256a +64b+ 16c = -8          (II)

4096a + 512b + 64c = -8      (III)

(I) - (II)  1. Gleichung - 2. Gleichung

0a -128 b + 0c = 0     ===> -128b = 0 =====> b = 0

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woher

 1024a  + 16c = -2      (III)'      

Die (III) wurde durch 4 dividiert, damit auch 16c dasteht.

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Ich habe noch eine Frage, wenn in der Aufgabe steht man solle och die Tiefe an der tiefsten Stelle bestimmen dann wird es auch mit dem Tiefpunkt berechnet.

Also hier die Aufgabe: Auf der Wasserseite wird als zusätzlicher Wellenschutz eine Rinne eingeplant. Bestimmen sie deren Tiefe an der tiefsten Stelle.

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Stelle ist bei solchen Aufgaben auf der horizontalen Achse abzulesen. Also normalerweise ein x.

Die Tiefe misst man vertikal. Da musst du dann nur noch das gefundene x einsetzen in die Funktionsgleichung f(x) =...     Das Resultat ist die gesuchte Tiefe.

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Auf der Abbildung sehe ich jetzt z.b. 4 und 8 soll ich eine von den einfach einsetzen oder habe ich es falsch verstanden

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Nicht die Nullstellen musst du einsetzen sondern die Minimalstelle. In der Graphik vom Mathecoach ist das x=6,IRGENDWAS

Rauskommen sollte dann ca. -4.5

Um die Extremalstelle exakt zu berechnen musst du die Nullstellen der Ableitung bestimmen.

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Also habe ich das richtig verstanden für x einfach eine Zahl einsetzen und es kommt dann -4,5 raus und das ist dann die tiefste stelle

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für x einfach eine Zahl (die berechnete Nullstelle der Ableitung) einsetzen (das ist die gesuchte Stelle) und es kommt dann -4,5 raus und das ist dann die Tiefe.

Ich schreib das mal in der Zeichnung von Mathecoach noch an.

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Echt vielen Dank durch die Beschriftung der Zeichnung wird es deutlicher :)

Eine letzte frage habe ich noch wie kann ich Überprüfen das die Steigung maximal m= ±2 beträgt. Also Überprüfen im Sinne von ob dieser Wert eingehalten wird.

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Berechne die Wendestelle. Dort ist das Gefälle extremal. Zweite Ableitung 0 setzen--> x=3.??

Auf der Skizze liegt diese Stelle exakt zwischen dem Hoch- und Tiefpunkt: x --> 3.??

Weitere steilste Stellen befinden sich am Rand des Definitionsbereichs bei x= -4 und bei x=8

Nun setzt du diese 3 x-Werte bei der ersten Ableitung (Steigung) ein. Wenn alle drei Steigunswerte m im Bereich -2 ≤m≤2 liegen, werden die Vorschriften eingehalten.

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Warum sind es denn drei Steigungswerte

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Schau das Profil nochmals an: In der Mitte ist es steil. Dann wird es flacher bis zu den Extrempunkten dahinter geht es wieder runter respektive raus und wird dabei immer steiler.

Du kannst nicht von vornherein ausschliessen, dass sich die steilste Stelle nicht am Rand befindet. Daher musst du alle 3 Stellen testen.

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Okay jetzt eine dumme frage ich soll es mit der ersten Ableitung machen aber wir kriege ich es das hin, dass ich 3 stellen hab

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Bitte nochmals alles in Ruhe durchlesen. Die beiden Ränder stehen schon in der Aufgabenstellung, der Rest in dem, was ich geschrieben habe.

Answer 2

Wir können hier auch das Gaussverfahren nehmen. Das ist eventuell nur aufwendiger

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e

f'(x) = 4·a·x^3 + 3·b·x^2 + 2·c·x + d

P₁(-4/0)   P₂(4/0)  P₃(8/0)  P₄(0/8) 

f(0) = 8
e = 8

f'(0) = 0
d = 0

f(-4) = 0
256·a - 64·b + 16·c - 4·d + e = 0

f(4) = 0
256·a + 64·b + 16·c + 4·d + e = 0

f(8) = 0
4096·a + 512·b + 64·c + 8·d + e = 0

d und e können wir in die 3 gleichungen schon einsetzen und erhalten

256·a - 64·b + 16·c = -8
256·a + 64·b + 16·c = -8
4096·a + 512·b + 64·c = -8

Das lösen wir jetzt

a = 1/128 ∧ b = 0 ∧ c = - 5/8 ∧ d = 0 ∧ e = 8

f(x) = 1/128·x^4 - 5/8·x^2 + 8

Skizze: