Skizziere Re(1/z) = 1/2

Question

Re (1/z)  ≤ 1/2

mit z= a + bi

Re (1/z) = a^2/ ( a^2 + b^2)

Comments

Wenn Du etwas weiter rechnest, bekommst Du

...   ⇔   (Re z)^2 ≤ (Im z)^2   ⇔   | Re z | ≤ | Im z |.

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Inzwischen ist mir aufgefallen, dass
die Gleichheit Re (1/z) = a^2/ ( a^2 + b^2)
aus dem Fragebeitrag gar nicht richtig ist.

Mein vorheriger Kommentar ist daher nicht sinnvoll. :-(

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sry mein fehler es ist a/(a^2+b^2)=1/2

--> 2a = a^2 +b^2 -->  a^2+2a+b^2=0

--> (a+1)^2 + b^2 = 1

das ist dann ein kreis um (1/0) mit radius gleich 1

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Fast, Du ziehst 2a auf die andere Seite. Kommt ein Minus rein.

Den Weg siehste bei mir unten auch. Gleiches Vorgehen :).

Answer 1

RE(1/z) = 1/2

z = x + y·i

RE(1/(x + y·i)) = 1/2

RE((x - y·i)/(x^2 + y^2)) = 1/2

x/(x^2 + y^2) = 1/2

2·x = x^2 + y^2

x^2 - 2·x + y^2 = 0

x^2 - 2·x + 1 + y^2 = 1

(x - 1)^2 + y^2 = 1

Das ist nun aber ein Kreis um (1 | 0) mit dem Radius 1.

Comments

Im Text heißt es "kleiner gleich".

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aber nicht alle Punkte des Kreises erfüllen die Ausgangsgleichung

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In der Überschrift steht gleich. Ich nehme mal an es wird für den Fragesteller nicht schwer sein hier das ganze mit kleiner gleich zu betrachten.

Und richtig. Nicht alle Punkte des Kreises erfüllen dich Gleichung. Bei 1/z was darf ich sicherlich nicht für z einsetzen? Ich glaube auch das kann der Fragesteller leicht beantworten.

Bitte dran denken das ich hier keine Abschreibefertigen Hausaufgaben erledige und der Fragesteller auch noch sein Gehirn einschalten sollte.

Answer 2

Hi,

da mach nur weiter:

Re (1/z) = a/ ( a² + b²) ≤ 1/2   |*2 *(a^2+b^2) mit a^2+b^2 ≠ 0

2a ≤ a^2+b^2      |+1 -2a (und Binom erkennen)

1 ≤ (a-1)^2+b^2

Also ein Kreis mit dem Radius 1 um den Mittelpunkt (1,0).

Grüße