Gruppentheorie Kürzungsregel: a, b, c in Gruppe G: Zeige: Falls c◦a = b◦a, so c = b.

Question

Hi,

Wenn ihr euch fragt wehalb so viele dieser Fragen kommen: Ich möchte aus meinem Skript jeden(!) Satz beweisen, auch wenn es nicht gilt ihn zu beweisen ^^ :)

Es sei (G,◦) eine Gruppe. Für beliebige Elemente a, b, c vonG gilt: 

• Falls c◦a = b◦a, so c = b. 

• Falls a◦c = a◦b, so c = b.

Ich bitte um TIPPS, keine Komplettlösung bitte!!

Gruss

Answer 1

Multipliziere von rechts (bzw. von links) mit a^{-1} und benutze dann dass Assoziativgesetz.

Comments

Beide Seiten mutiplizieren? Wie soll ich das machen? Dann muss ich doch noch beweisen, also dass das möglich ist.

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Links und rechts der Gleichungen stehen Elemente von G.

Man darf sie mit beliebigen Elementen aus G multiplizieren von links und von rechts.

Das Inverse von a muss es ja auch geben.

c◦a = b◦a            |mult. von rechts mit a^{-1}

(c◦a)*a^{-1} = (b◦a) * (a^{-1})     |Assoziativgesetz

c *(a*a^{-1}) = b*(a*a^{-1})

c = c*e  = b*e = b

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Aber wieso darf man beide Seiten mit a^{-1} multiplizieren? Ein Gruppenaxiom ist es nicht. Ein Satz der bei uns bereits bewiesen wurde auch nicht...

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a^{-1} ist ein Element von G. Und man darf gemäss Gruppenaxiomen für mult. Gruppen beliebige 2 Elemente von G miteinander multiplizieren.

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Das meine ich nicht... Ich meine wenn man beide(!) Seiten mutipliziert, wieso bleibt dann die Richtigkeit erhalten? Ich muss das aufbauens auf Gruppentheorie beweisen... Verstehst du was ich meine?

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Wenn vorher beide Seiten gleich sind, dann müssen sie natürlich auch nach der Multiplikation mit demselben Element gleich sein.

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Klar. Das ist logisch. Aber muss man das nicht noch aufbauend auf die Gruppenaxiome beweisen? Ich dachte das müsste ich noch machen..

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Ich wüsste nicht, was man da noch beweisen soll.
Du kannst es ja vielleicht so machen: Führe eine neue Variable \(d:=c\circ a\ (*)\) ein. Wegen \(c\circ a=b\circ a\) ist dann auch \(d=b\circ a\ (**)\).
Offensichtlich ist \(d\circ a^{-1}=d\circ a^{-1}\) (das willst du hoffentlich nicht auch noch beweisen ;-)). Setze jetzt auf der linken Seite \((*)\) ein und auf der rechten Seite \((**)\). Dann erhältst du \((c\circ a)\circ a^{-1}=(b\circ a)\circ a^{-1}\). Und dann nur noch das Assoziativgesetz verwenden und dann bist du fertig.
So ausführlich würde das aber nie jemand aufschreiben. Eigentlich habe ich ja nur \(c\circ a\) bzw. \(b\circ a\) umbenannt in \(d\). Aber so wird vielleicht klarer, dass man wirklich auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe multiplizieren darf.

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Ok, das hab ich gesucht, danke :-) Ein Beweis ohne Multiplimation auf beiden Seiten mit iwas. Also kürzen darf ich schonmal, jetzt brauche ich nur noch multiplizieren^^ ;)

Answer 2

Seien  a,b,c ∈ G  und  e  das neutrale Element von  G. Es existiert ein  g ∈ G  mit  a•g = e.
Es ist  c = c•e = c•(a•g) = (c•a)•g = (b•a)•g = b•(a•g) = b•e = b.