Für welche x konvergiert die Reihe Σ 1/(1 + |x|^k)?

Question

Σ 1/(1 + |x|^k) 

Hi, wir sollen untersuchen, für Welche Werte x ∈ ℝ die folgende Reihe konvergiert:

$$ \sum _{ k=0 }^{ inf }{ \frac { 1 }{ 1+|x|^{ k } }  }    $$

Jetzt muss ich diese Summe als allererstes mal umformen, und zwar in die Form

$$ \sum _{ k=0 }^{ inf }{ { a }_{ k } } (x-{ x }_{ 0 })^{ k }   $$

Dann kann ich ja den Konvergenzradius der Reihe bestimmen.

Doch wie bekomme ich die Ursprungsreihe so umgeformt? Stehe da irgendwie auf dem Schlauch :(

Oder handelt es sich hier gar nicht um eine Potenzreihe? Wenn nicht, wie gehe ich dann vor?

Comments

Vielleicht betrachtest du verschiedene Fälle. x>0, x=0 und x<0. Dann stören die Betragsstriche weniger.

Answer 1

Fall 1: \(x>1.\) Die geometrische Reihe ist konvergente Majorante:$$0<\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{1+x^k}<\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{x^k}.$$Daraus folgt Konvergenz.
Fall 2: \(0\leq x\leq1.\) Das Quotientenkriterium liefert für alle \(k\geq1:\)$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{1+x^k}{1+x^{k+1}}\geq1.$$Daraus folgt Divergenz.