Guppentheorie: Satz von Lagrange.

Question

Hi.

In einer beliebigen endlichen Gruppe ist die Ordnung einer jeden Untergruppe ein Teiler der Gruppenordnung. Genauer: Ist |G| die Ordnung einer Gruppe (G,◦), |U | die Ordnung einer Untergruppe (U, ◦) von (G, ◦) und k die Anzahl der Links- nebenklassen von U in G, so gilt |G| = k · |U|.

Ideen: Es müsste doch die Anzahl der Linksnebenklassen gleich |G| sein, oder? Bitte hier keine(!!!) Gesamtlösung sehr sehr wichtig hierbei. 

Comments

Eine Linksnebenklasse ist: a*U := {u * a mit u∈U}. Dabei ist a∈G und U eine Untergruppe von G. Das heisst man kann für jedes Element aus G eine Linksnebenklasse finden. Aber das ist doch ein Fehler?...

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Nein, die Ordnung (=Anzahl der Elemente einer Gruppe) ist nicht unbedingt gleich der Anzahl der Linksnebenklassen. Denn es können mehrere Elemente dieselbe Linksnebenklasse erzeugen (d.h. aH=bH, obwohl $a\neq b$).

Für zwei Linksnebenklassen $aU$ und $bU$ sind äquivalent:
1) $aU=bU$
2) $aU\cap bU\neq \emptyset$
3) $a\in bU$
4) $b^{-1}\circ a\in U$

Es gilt also z.B.: Wenn zwei Linksnebenklassen ein gemeinsames Element haben, dann sind sie schon gleich.

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Ok, kannst du mir einen Tipp geben?

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Wozu? Möchtest du den Satz von Lagrange beweisen? Das steht oben nicht. :-)

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Achso :D ja, möchte ich ;)

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Hast du folgendes schon mal gehört?

Wenn $k$ die Anzahl der Linksnebenklassen von $U$ in $G$ ist, dann kann man geeignet $k$ Elemente $a_1, ..., a_k\in G$ auswählen ($R=\{a_1, ..., a_k\}$ nennt man dann Repräsentantensystem), sodass $G=\dot{\bigcup}_{a\in R} aU$.

Außerdem musst du noch wissen, dass alle Linksnebenklassen von $U$ in $G$ gleichmächtig sind und gleich der Ordnung von $U$ sind.

Dann gilt also: $|G|=\left|\dot{\bigcup}_{a\in R} aU\right|=...=k\cdot |U|$.

Die Punkte musst du jetzt noch füllen. ;-)

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Bei den Punkten müsste

$\sum_{a \in R} \left| aU \right| = k \cdot |aU| = k \cdot |U|$

stehen.

1-2 Fragen hab ich noch, aber morgen^^

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Bist du Legen...Där? Du schreibst als Gast...

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Ja, der bin ich. Habs Gerät gewechselt und noch nicht angemeldet... :) Ich geh jetzt aber pennen, gn8.

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Ok:

Wie beweist man, dass die Vereinigung von aU mit $a \in R$ gleich G ist?

Dass alle gleichmächtig sind, ist logisch, wenn man sich die Definition einer Linksnebenklasse anschaut. Ebenso, dass sie gleichmächtig wie U sind. Also die obige ist meine einzige Frage.

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Die Elemente aus R sind gerade so gewählt, dass diese Vereinigung gleich G ist. Man kann beweisen, dass man immer ein solches Repräsentantensystem auswählen kann.

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Das möchte ich ja, beweisen. Kleiner Tipp wär nötig.

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$G$ ist die Vereinigung aller Linksnebenklassen von $U$, $G=\bigcup_{g\in G} gU$. (Ist dir klar, warum?)
Man wählt aus jeder Linksnebenklasse ein Element aus. Die Menge dieser Elemente ist dann ein Repräsentantensystem $R$. Du kannst dir jetzt noch überlegen, warum dann tatsächlich gilt: $$G=\dot{\bigcup}_{a\in R}aU$$, warum $G$ also die disjunkte Vereinigung dieser Nebenklassen ist. (steht eigentlich oben schon)

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"Ist dir klar, warum?"
Nein, leider nicht. Meine Frage ist diese "warum". Mein Ansätze wären:

$\forall a \in g U : ~~a \in G$, denn U ⊂ G und $g \in G$ (schliesslich ist $x * y \in G ~~\forall x,y \in G$ ). Das heisst: gU ⊂ G. Problem ist nur: Wieso enthält die Vereinigung der Linksnebenklassen jedes Element aus G?
Danke nochmals.

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Für jedes $g\in G$ gilt: $g\in gU$. (warum?)

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Weil $e \in U \text{ und } gU = \{ g * u ~~ : ~~ u \in U \}.$. Wähle $u = e \Rightarrow g * e = g \in gU$. Ok, jetzt ist die ganze Sache klar! Danke vielmals, Nick!!

P.S.: Schreib den Tipp als Antwort, kriegst den Stern :)

Answer 1

Tipp: $G$ ist die Vereinigung aller Nebenklassen, weil $g\in gU$ für alle $g\in G$ gilt. ;-)