Guppentheorie: Satz von Lagrange.

Question

Hi.

In einer beliebigen endlichen Gruppe ist die Ordnung einer jeden Untergruppe ein Teiler der Gruppenordnung. Genauer: Ist |G| die Ordnung einer Gruppe (G,◦), |U | die Ordnung einer Untergruppe (U, ◦) von (G, ◦) und k die Anzahl der Links- nebenklassen von U in G, so gilt |G| = k · |U|.

Ideen: Es müsste doch die Anzahl der Linksnebenklassen gleich |G| sein, oder? Bitte hier keine(!!!) Gesamtlösung sehr sehr wichtig hierbei. 

Comments

Eine Linksnebenklasse ist: a*U := {u * a mit u∈U}. Dabei ist a∈G und U eine Untergruppe von G. Das heisst man kann für jedes Element aus G eine Linksnebenklasse finden. Aber das ist doch ein Fehler?...

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Nein, die Ordnung (=Anzahl der Elemente einer Gruppe) ist nicht unbedingt gleich der Anzahl der Linksnebenklassen. Denn es können mehrere Elemente dieselbe Linksnebenklasse erzeugen (d.h. aH=bH, obwohl \(a\neq b\)).

Für zwei Linksnebenklassen \(aU\) und \(bU\) sind äquivalent:
1) \(aU=bU\)
2) \(aU\cap bU\neq \emptyset\)
3) \(a\in bU\)
4) \(b^{-1}\circ a\in U\)

Es gilt also z.B.: Wenn zwei Linksnebenklassen ein gemeinsames Element haben, dann sind sie schon gleich.

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Ok, kannst du mir einen Tipp geben?

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Wozu? Möchtest du den Satz von Lagrange beweisen? Das steht oben nicht. :-)

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Achso :D ja, möchte ich ;)

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Hast du folgendes schon mal gehört?

Wenn \(k\) die Anzahl der Linksnebenklassen von \(U\) in \(G\) ist, dann kann man geeignet \(k\) Elemente \(a_1, ..., a_k\in G\) auswählen (\(R=\{a_1, ..., a_k\}\) nennt man dann Repräsentantensystem), sodass \(G=\dot{\bigcup}_{a\in R} aU\).

Außerdem musst du noch wissen, dass alle Linksnebenklassen von \(U\) in \(G\) gleichmächtig sind und gleich der Ordnung von \(U\) sind.

Dann gilt also: \(|G|=\left|\dot{\bigcup}_{a\in R} aU\right|=...=k\cdot |U|\).

Die Punkte musst du jetzt noch füllen. ;-)

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Bei den Punkten müsste

\( \sum_{a \in R} \left| aU \right| = k \cdot |aU| = k \cdot |U| \)

stehen.

1-2 Fragen hab ich noch, aber morgen^^

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Bist du Legen...Där? Du schreibst als Gast...

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Ja, der bin ich. Habs Gerät gewechselt und noch nicht angemeldet... :) Ich geh jetzt aber pennen, gn8.

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Ok:

Wie beweist man, dass die Vereinigung von aU mit \( a \in R\) gleich G ist?

Dass alle gleichmächtig sind, ist logisch, wenn man sich die Definition einer Linksnebenklasse anschaut. Ebenso, dass sie gleichmächtig wie U sind. Also die obige ist meine einzige Frage.

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Die Elemente aus R sind gerade so gewählt, dass diese Vereinigung gleich G ist. Man kann beweisen, dass man immer ein solches Repräsentantensystem auswählen kann.

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Das möchte ich ja, beweisen. Kleiner Tipp wär nötig.

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\(G\) ist die Vereinigung aller Linksnebenklassen von \(U\), \(G=\bigcup_{g\in G} gU\). (Ist dir klar, warum?)
Man wählt aus jeder Linksnebenklasse ein Element aus. Die Menge dieser Elemente ist dann ein Repräsentantensystem \(R\). Du kannst dir jetzt noch überlegen, warum dann tatsächlich gilt: $$G=\dot{\bigcup}_{a\in R}aU$$, warum \(G\) also die disjunkte Vereinigung dieser Nebenklassen ist. (steht eigentlich oben schon)

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"Ist dir klar, warum?"
Nein, leider nicht. Meine Frage ist diese "warum". Mein Ansätze wären:

\( \forall a \in g U : ~~a \in G \), denn U ⊂ G und \( g \in G \) (schliesslich ist \( x * y \in G ~~\forall x,y \in G\) ). Das heisst: gU ⊂ G. Problem ist nur: Wieso enthält die Vereinigung der Linksnebenklassen jedes Element aus G?
Danke nochmals.

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Für jedes \(g\in G\) gilt: \(g\in gU\). (warum?)

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Weil \( e \in U \text{  und  } gU = \{ g * u ~~ : ~~ u \in U \}. \). Wähle \( u = e \Rightarrow g * e = g \in gU \). Ok, jetzt ist die ganze Sache klar! Danke vielmals, Nick!!

P.S.: Schreib den Tipp als Antwort, kriegst den Stern :)

Answer 1

Tipp: \(G\) ist die Vereinigung aller Nebenklassen, weil \(g\in gU\) für alle \(g\in G\) gilt. ;-)