Exponentialfunktion 2^{×+1} - 3 × 2^x + 5 × 2^{x-1} vereinfachen und Gleichung lösen

Question

Ich habe die Gleichung :

2^{×+1} - 3 × 2^x + 5 × 2^{x-1} = 48

Zunächst muss ich die Terme vereinfachen, aber wie ich es auch anstelle komme ich nicht auf die nächste Lösungszeile:

4 × 2^{x-1} - 3 × 2 × 2^{x-1} + 5 × 2^{x-1} .

Habe die Lösung im Buch aber möchte gern den Rechenweg verstehen.

Comments

Hi, es wurde der Faktor 2 so oft aus der Potenz gezogen, bis alle Potenzen den kleinsten Exponenten (x-1) hatten. Es wurde dadurch das Ziel erreicht, lauter Vielfache von Potenzen mit gleicher Basis (2) und gleichem Exponenten (hier: (x-1)) zu erhalten. Diese lassen sich dann zusammenfassen.

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Das ich den kleinsten Exponenten als Anhaltspunkt nehmen muss habe ich rausgefunden. Bei mir sah das dann so aus:

2 × 2^x × 2^{×-1} beim ersten Term. Aber warum ist das 4 × 2^x-1? :O Mit Sicherheit sehr einfach aber ich komm nicht drauf. Meine Schulzeit liegt schon einige Jahre zurück.

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Es ist (x+1)-(x-1) = 2, das heißt, der zunächst vorhandene Exponent ist um 2 größer als der gewünschte Exponent. Indem wir die Basis 2 zweimal aus der Potenz herausziehen erhalten wir den gewünschten Exponenten und als Faktor eben 2*2=4.

Answer 1

2^×+1 - 3 × 2^x + 5 × 2^x-1 = 48

2^×-1+1+1 - 3 × 2^x-1+1 + 5 × 2^x-1 = 48

2^2*2^×-1 - 3 × 2*2^x-1 + 5 × 2^x-1 = 48

4*2^×-1 - 6*2^x-1 + 5 × 2^x-1 = 48

Alles klar?

Grüße

Comments

Im großen und ganzen klar wenn ich das so sehe aber ich versteh einfach nicht warum in der 2. Zeile bei 2^{x-1+1+1} einfach auf das x addiert wird. Ich versteh nicht wie man darauf kommt. Gibt es da eine Regel zur Umformung?

Es tut mir unendlich leid, ich brauch bei Mathe sehr lange um zu verstehen :/

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Das muss man nicht so machen, habe ich einfach so gemacht, da klar ist worauf es hinausläuft. Habe eine 1 abgezogen und damit ich nichts ändere auch gleich wieder addiert ;).
Theoretisch hättest Du auch alles auf 2^x bringen können, wenn Dir das einfacher fällt^^.