Vergleich lineares und exponentielles Wachstum. Formulieren Sie jeweils ein Beispiel.

Question

Vergleich der beiden Wachstumsarten

a) Erläutern Sie die beiden Aussagen „Die Änderungsrate ist konstant." und „Die Änderungsrate ist proportional zum vorhandenen Bestand“.

b) Formulieren Sie jeweils ein Beispiel für lineares und exponentielles Wachstum im Sachzusammenhang „Kapital/Verzinsung".

c) Erläutern Sie die Bedeutung der Parameter Anfangskapital \( \mathrm{A} \) und des jährlichen Zinssatzes \( p \) in der allgemeinen Gleichung des linearen Wachstums.

Answer 1

Ich bin leider kein Kaufmann. Hier mein Kenntnisstand.
zu 1b und c )
lineares Wachstum : Tagesgeld oder Monatsgeld
Zinsen 3 %
Zinsfuß p = 1 + 3 / 100 = 1.03
K = Endkapital
A = Anfangskapital
t = Zeit in Tagen
K = A * p * t / 360
K ist proportinal zu t
K = ( A * p / 360 ) * t
( A, p und 360 sind fest )
Der Graph ist eine Gerade ( linear ).

Exponentielles Wachstum : die Variable t ist im Exponent
p = 1.03
t = Zeit in Jahren
K = A * p^t
Der Graph zeigt eine immer schneller steigende Kurve
( Exponentialfunktion )

Ich hoffe es hilft dir weiter.

Comments

@mathecoach
Überschrift : lineares und exponentielles Wachstum
Die Aussage in 3a.)  verstehe ich nicht.
Änderungsrate = Steigung
Lineares Wachstum : Die Änderungsrate ist konstant
f ´( t ) = m
f ( t = = m * t ( siehe meine Erkläung Tagesgeld / Monatsgeld )
Die Änderungsrate ist proportional zum verhandenen Bestand
f ´ ( Bestand ) = Bestand * m
f ( Bestand ) = Bestand / 2 * m^2
Was ist das für ein Wachstum ?
Erinnert an den freien Fall aber nicht an ein Exponentialfunktion.
Korrektur
f ( Bestand ) = Bestand^2 / 2 * m

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a) Erläutern Sie die beiden Aussagen: "Die Änderungsrate ist konstant." und "Die Änderungsrate ist proportional zum vorhandenen Bestand."

Die Änderungsrate ist konstant bedeutet in gleichen Zeitintervallen ändert sich der Funktionswert immer um einen konstanten Betrag.

Lineare Funktion

y = m·x + b

y' = m (konstant!)

Die Änderungsrate ist proportional zum vorherigen Bestand, bedeutet der Bestand ändert sich in gleichen Zeitintervallen immer um einen gleichen Anteil vom vorhergehenden Bestand.

Exponentialfunktion z.B. e-Funktion

y = a·e^{b·x}

y' = b·a·e^{b·x} = b·y (Proportional zum Bestand y)

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Ich weiß nicht ob schon Ableitungen als Änderungsrate angesprochen worden sind. Wenn nicht sind meine Beispiele hier unnötig. Unter b) sollte ja eh ein Beispiel aus der Praxis gebracht werden an dem man das erkennen kann.

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Deine Antwort ist einleuchtend.
Voraussetzung : die Exponentialfunktion ist schon im " Bestand "
vorhanden.
Die Ableitung ist allerdings auch wieder eine Exponentialfunktion.
Ich habe so eine verwirrende Definition bisher noch nicht gesehen
und auch noch nicht gebraucht.

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Wie gesagt kann man getrost die Beispiele weglassen.

Sie sollten eventuell nur den Hintergrund etwas formelmäßig beleuchten. So ein Ausdruck wie y' = b*y ist eine Differenzialgleichung die erst im Studium behandelt wird.

Ok. Es gab auch mal eine Abituraufgabe dazu. da sollte man aber nur zeigen das eine Funktion eine Differenzialgleichung erfüllt.

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Im Besipiel könnte man dann auf einfache Verzinsung und Verzinsung mit Zinseszinsen eingehen.

Einfache Verzinsung: Kn = K0 * (1 + p * n)

Zinseszins: Kn = K0 * (1 + p)^n

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Manchmal liegen die Schwierigkeiten auch nur im sprachlichen
Bereich

Nicht verstanden wurde von mir :
" Die Änderungsrate ist proportional zum verhandenen Bestand "

Mathematischer :
Zeigen Sie das die Steigung bei einer Exponentialfunktion 
proportional zum Funktionswert ist.

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Naja. Funktionen muss man nicht mal ins Spiel bringen. Verzinsung mit Zinseszins.

Du bekommst immer 2% des am Jahresanfangs vorhandenen Kapitals am Jahresende an Zinsen dazu.

Voraussetzung. Es finden keine weiteren Ein- und Auszahlungen statt.

2% vom Kapital sind immer proportional zum Kapital. Die Änderungsrate ist hier also proportional zum Kapital am Jahresanfang.

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Ich denke nicht das ich zu hoch gegriffen habe bei
" Zeigen Sie das die Steigung einer Exponentialfunktion 
proportional zum Funktionswert ist.  "
Für mich wäre dann alles klar ( und einfach ) gewesen.

Bestand mit  Exponentialfunktion  gleichzusetzen
kam mir nicht in den Sinn.