Gleichung des Umkreises des Dreiecks ABC bestimmen und Fläche berechnen A(-2/3) B(10/9) C(2/15)

Question

Könnte mir jemand dabei helfen ?

ermittle eine Gleichung jenes Kreises k, auf dem die Punkte A,B und C liegen! Stelle Gleichungen der Tangenten an k in den Punkten A,B und C auf und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks , dass von diesen Tangenten begrenzt wird !

A(-2/3) B (10/9) C (2/15)

Comments

Im Umkreismittelpunkt eines Dreiecks schneiden sich die Mittelsenkrechten der Seiten.

Das wäre eine Möglichkeit das zu konstruieren. Du kannst aber auch so eine rechnerische Lösung aufbauen.

Alternative: Abstände M(x|y) - A, M(x|y) - B und M(x|y) - C sind alle gleich lang wie der Radius des Umkreises. Daraus 2 Gleichungen machen und so x und y berechnen.

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Danke aber ich hab so angefangen dass ich die Punkte jeweils in eine kreisgleichung eingesetzt habe um dann ein glechungssystem aufzustellen nur weis ich jetzt nicht mehr wie ich weiter machen soll :-/ ich hab die Punkte eingesetzt und 2 Gleichungen  subtrahiert  dann hab ich die kleinelösungsformel angewendet, bin mit nicht sicher ob das richtig is weil 2 Lösungen rauskommen, ich glaub ich bin auf dem völlig falschen weg :/

Answer 1

Mittelpunkte der Seiten bestimmen

MAB = (4, 6)
MAC = (0, 9)

Steigungen der Seiten bestimmen

mAB = 1/2
mAC = 3

Gleichungen der Mittelsenkrechten aufstellen und gleichsetzen

-2*(x - 4) + 6 = -1/3*(x - 0) + 9
x = 3

-2*(3 - 4) + 6 = 8

Umkreismittelpunkt ist M(3 | 8)

 

Comments

A(-2 | 3) B (10 | 9) C(2 | 15) M(3 | 8)

Jetzt bestimmen wir die Steigungen der Punkte vom Mittelpunkt

mAM = 1
mBM = 1/7
mCM = -7

Nun die Tangenten an den Punkten aufstellen

ta(x) = -1(x + 2) + 3 = -x + 1
tb(x) = -7(x - 10) + 9 = -7x + 79
tc(x) = 1/7(x - 2) + 15 = 1/7x + 103/7

Schnittpunkt AB

-x + 1 = -7x + 79
x = 13
y = -13 + 1 = -12

Schnittpunkt AC

-x + 1 = 1/7x + 103/7
x = -12
y = -(-12) + 1 = 13

Schnittpunkt BC

-7x + 79 = 1/7x + 103/7
x = 9
y = -7*9 + 79 = 16

Damit betragen die Seitenlängen

a = √1250
b = √800
c = √450

Abstand AM = √50

Damit beträgt der Flächeninhalt

A = 1/2 * √50 + (√1250 + √800 + √450) = 125/2·√2 = 88.39