mathe textaufgabe knobelaufgabe herrscher

Question

textaufgabe

knobelaufgabe:in einem alten märchen hat ein herrscher 100 gefangene.im gefängnis gibt es zellen mit den nummern 1 bis 100 und ebenfalls 100 wärter.alle zellen sind abgeschlossen.die schlüssel der wärter passen in jedes schloss.an seinem geburtstag lässt der herrscher einige seiner gefangenen nach einer sonderbaren methode frei:

der erste wärter schliesst alle zellen auf.der zweite schliesst jede zweite zelle wieder zu.der dritte wärter schliesst an jeder dritten zelle.war sie zugeschlossen,ist sie nun auf.war sie aufgeschlossen,ist sie nun zu.so geht es bis zum 100. wärter weiter.die gefangenen in den dann offenen zellen sind frei.

a)welche zellen sind am ende offen?wie viele gefangene kommen frei?

b)wie viele wärter haben an der 100. tür ihren schlüssel gedreht?

Answer 1

a) Du musst die Teiler jeder Zahl aufschreiben, wenn die Anzahl der Teiler gerade ist, ist die Zelle geschlossen; wenn die Anzahl der Teiler ungerade ist, ist die Zelle offen.

Also sind alle Primzahlzellen am Ende geschlossen, da sie von dem 1. Wächter aufgeschlossen werden und von den "Primzahlwächtern" wieder zugeschlossen werden (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97) (=> jeweils 2 Teiler, nämlich 1 und die Primzahl selbst).

Jetzt kannst du das für die anderen Zahlen nachrechnen und gucken, ob du irgendeine Regel feststellen kannst:

1: 1, 1 Teiler => Zelle 1 offen

4: 4, 2, 1 => 3 Teiler => Zelle 4 offen

6: 6, 3, 2, 1 => 4 Teiler => Zelle 6 geschlossen

8: 8, 4, 2, 1 => 4 Teiler => Zelle 8 geschlossen

9: 9, 3, 1 => 3 Teiler => Zelle 9 offen

10: 10, 5, 2, 1 => 4 Teiler => Zelle 10 geschlossen

12: 12, 6, 4, 3, 2, 1 => 6 Teiler => Zelle 14 geschlossen

14: 14, 7, 2, 1 => 4 Teiler => Zelle 14 geschlossen

15: 15, 5, 3, 1 => 4 Teiler => Zelle 15 geschlossen

16: 16, 8, 4, 2, 1 => 5 Teiler => Zelle 16 offen

Ich erkenne hier also, dass alle Zahlen immer eine gerade Anzahl an Teilern haben, da es immer den passenden Teiler geben muss, damit die Zahl wieder herauskommt (also Zahl*1=Zahl, Zahl/2*2=Zahl usw.). Die einzige Ausnahme sind die Quadratzahlen, da diese in dieser Hinsicht zweimal den Selben Teiler haben (z. B. 4 hat die Teiler 4*1 und 2*2, also nur 3 Teiler). Also sind am Ende alle Quadratzahlen offen, d. h. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

b) Alle Teiler von 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Comments

Ja sehr gut. Der Faule Mathematiker nimmt dann dafür die Teileranzahlfunktion:

https://de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion

Das vereinfacht das etwas :)

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Die Funktion kannte ich noch gar nicht, schön zu wissen, dass es sowas gibt :)

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Normal lernt man sowas ja auch erst in der Uni in der Zahlentheorie. Man braucht sowas ja auch meist recht selten, außer für irgendwelche Knobelaufgaben :)

Aber ich liebe Knobelaufgaben :)

Answer 2

Das schöne ist das die Teileranzahl nur ungerade ist wenn wir eine Quadratzahl haben.

Also kommen alle Leute frei die in einer Zelle mit einer Quadratzahl sitzen.

Das sind also genau 10 Leute.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Wenn wir jetzt Wissen wollen wieviele Leute an der 100. Tür gedreht haben machen wir eine Primzahlzerlegung von 100

100 = 2^2 * 5^2

Nun nehmen wir das Produkt aller um eins vermehrten Exponenten:

(2+1)*(2+1) = 9

Es haben also 9 Wärter an der 100 Tür gedreht.