Differenz und Funkionswerte im umschlossenen Flächenstück

Question

Übung zu Normalen, Näherungsverfahren, Flächeninhalt, Extremalproblem:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\left(x^{2}-2 x\right) \cdot e^{0.5 x} \).

a) Wo schneidet die Kurvennormale im Wendepunkt \( W_{1}\left(-6 \mid 48 \mathrm{e}^{-3}\right) \) die Kurvennormale im Wendepunkt \( \mathrm{W}_{2}(0 \mid 0) ? \)

b) Wo schneidet der Graph von \( \mathrm{f} \) die Winkelhalbierende des 1. Quadranten? Bestimmen Sie den Schnittpunkt näherungsweise (auf 2 Nachkommastellen).

c) Wo schneidet der Graph der Funktion \( g(x)=e^{0.5x} \) den Graphen von \( f \) ? Wie groß ist der Inhalt des von \( \mathrm{f} \) und \( \mathrm{g} \) umschlossenen Flächenstücks \( \mathrm{B} \)? Verwenden Sie die Stammfunktion \( \mathrm{F} \) von \( \mathrm{f} \) aus Übung 9a.

d) An welcher Stelle in dem umschlossenen Flächenstück B wird die Differenz der Funktionswerte von g und f maximal?

Answer 1

f(x) - g(x)

= (x^2 - 2·x)·e^{0.5·x} - e^{0.5·x}

= e^{0.5·x}·(x^2 - 2·x - 1)

f'(x) = 0.5·e^{0.5·x}·(x^2 + 2·x - 5) = 0
x = 1.449489742 [∨ x = -3.449489742]

Skizze

Answer 2

Hi,

bestimme die Schnittpunkte der Graphen f und g. Ergebnis \( 1 \pm \sqrt{2} \)

Berechne die erste Ableitung von h(x)=f(x)-g(x) und bestimme die Nullstellen. Ergebnis \( -1 \pm \sqrt{6} \)

Wähle die Nullstelle aus, die im zugelassenen Bereich liegt.

Prüfe über die zweite Ableitung ob wirklich ein Maximum vorliegt.