Geometrische Reihe bestimmen: 6, x1, x2, x3, 3750

Question

Ich soll die Unbekannten der geometrischen Reihe bestimmen: 6, x₁, x₂, x₃, 3750

Wer kennt sich aus, wer kennt die Lösung?

Answer 1

Als geometrische Folge bezeichnet man eine Folge, bei der die aufeinanderfolgenden Folgenglieder immer durch das Malnehmen mit ein und derselben Zahl auseinander hervorgehen.

Zum Beispiel die Folge

3, 6, 12, 24, 48, ...

bei der immer mit 2 malgenommen wird.

 

Bei deiner Folge kennen wir die Zahl noch nicht, mit der malgenommen wird, also nennen wir sie einfach mal c:

x₁ = 6*c

x₂ = x₁*c = 6*c²

x₃ = x₂*c = 6*c³

x₄ = x₃*c = 6*c⁴ = 3750

→ c⁴=625

c = 5

 

Also ist die Folge:

6, 30,150, 750, 3750

Comments

c könnte auch -5 sein.

Answer 2

Julians Resultat ist so schön, dass man die Aufgabe am besten so löst, wie er.

Aber eine Reihe ist eigentlich eine Teilsummenfolge. D.h. man müsste 3750 als Summe der ersten 5 Glieder der zugrundeliegenden geometrischen Folge ansehen. Wie man allerdings die resultierende Gleichung auflösen sollte, ist nicht unbedingt klar.

Geometrische Reihe 6, x1, x2, x3, 3750

s1=a1=6, s2, s3, s4, s5=3750

   $$ s _ { n } = a _ { 1 } \frac { q ^ { n } - 1 } { q - 1 } \\ s _ { 5 } = a _ { 1 } \frac { q ^ { 5 } - 1 } { q - 1 } \\ s _ { n } = a _ { 1 } \frac { q ^ { n } - 1 } { q - 1 } \\ 3750 = 6 \frac { q ^ { 5 } - 1 } { q - 1 } $$

625 (q-1) = q⁵-1

625 = q⁴+q³+q²+q+1

624 = q⁴+q³+q²+q

Man könnte noch q ausklammern.

Wenn q eine natürliche Zahl wäre, müsste die Faktorzerlegung hier weiterhelfen.

4*4*3*13=4*4* 39= 4*156= 624

q = 4 ist zu klein und q = 6 zu gross, q=5 kann nicht sein.

Vielleicht ist q negativ?

Als ganze Zahl müsste zwischen -6 und -4 liegen. Da q = -5  nicht sein kann, ist q nicht ganzzahlig. Es braucht ein Näherungsverfahren.