Wendestellen = Stellen an denen Graph gerade aus geht?

Question

Oft wird eine Wendestelle als stelle an der der Graph geradeaus geht beschrieben. Ist das korrekt? Gerade aus bedeutet "in gerader Richtung weiter ohne die Richtung zu ändern. Um von der Wendestelle auf die nächste Stelle des Graphens zu kommen reicht es aber nicht wenn man einfach gerade aus geht! Würde man ohne die Richtung zu verändern weiter gehen, so würde man neben dem Graphen landen! Deswegen zweifle ich dass an Wendestellen der Graph gerade aus geht. Ist das verständlich? Hat sich jemand mal ausführlich mit der Theorie befasst?

Answer 1

Du kannst dir den Graphen wie eine Straße vorstellen. Wenn du mit einem Auto auf dem Graphen entlangfährst, fährst du immer nach rechts bzw. nach links und wechselst eventuell die Richtung (auf einer Geraden fährst du natürlich nur geradeaus). Wenn du gerade eine Rechtskurve fährst und diese dann in eine Linkskurve wechselt, so nennt man den Punkt, an dem sich die Kurve ändert, Wendepunkt (deshalb auch das von dir beschriebene "geradeaus fahren", welche aber nicht eine Strecke geradeausfahren bedeutet, sondern nur genau an diesem Punkt geradeausfahren, da ja zwischen einer Rechtskurve und einer Linkskurve mindestens 1 Punkt geradeaus fahren sein muss). Ich hoffe, das ist so verständlich für dich.

Beispiel f(x)=x^2: Hier fährst du immer eine Linkskurve, es gibt hier also keinen Wendepunkt.

Beispiel f(x)=x^3: Hier fährst du bis zum Nullpunkt immer eine Rechtskurve, genau an dem Nullpunkt ändert sich das dann in eine Linkskurve. Also ist am Nullpunkt ein Wendepunkt.

Hier noch die Graphen davon:

Blau: x^2, rot: x^3

Comments

Wenn du meinst, dass ein Auto im Wendepunkt ohne Lenkeinschlag fährt (bzw. der Graph gerade aus geht), dann legt es dabei eine Stecke zurück, sagen wir von x1 zu x2, in diesem Intervall [x1;x2] müsste ja die Steigung konstant sein das heißt f''(x) ist im Intervall [x1;x2] gleich null. Demnach braucht man ein Intervall in dem das Auto geradeaus fährt, eine Stelle in der das Auto gerade aus fährt (der Graph geradeaus geht) gibt es nicht. Deswegen erschien mir die Formulierung "Stelle an der der Graph gerade aus geht" nicht sinnvoll und als kein Ersatz für "Wendestelle". Gibt es irgendwelche Arbeiten/Internetseiten/... die sich damit befassen oder meine Argumentation widerlegen?

Und ja, ich weiß, dass das sehr pingelig ist.. interessiert mich trotzdem :)

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Eventuell könnte man dazu etwas auf wikipedia finden: https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt

Ich hab mir den Artikel nicht durchgelesen, aber hilft der dir weiter :)

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Eine Wendestelle ist immer eine krümmungsfreie stelle. Also wenn wir eine Straße entlangfahren, die Stellen an denen wir keinen Lenkereinschlag nach rechts oder links haben.

Das ist zumindest die notwenidige Bedingung.

Definier es besser also nicht als Strecke sondern als Stelle.

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Aber wenn du eine Strecke entlang fährst legst du automatisch Strecke zurück, bzw. wenn der Graph (geradeaus) geht, legt er auch Strecke zurück. D.h. es kann zwar eine Strecke geben auf der man geradeaus fahren kann, aber keine Stelle. Demnach macht die Formulierung "Stelle an der der Graph geradeaus geht" kein Sinn, wenn damit eine einzelne Wendestelle gemeint ist.

Man kann nur gerade aus fahren, wenn sich das Krümmungsverhalten des Graphen nicht ändert. Allerdings ist das nicht bei jeder Wendestelle der Fall. Habe mir das gerade aufgezeichnet, wenn das Krümmungsverhalten konstant ist, ist die zweite und dritte Ableitung dort null. Das ist bei Wendestellen nicht der Fall. Wenn nach den "Stellen" gefragt ist, an denen der Graph geradeaus geht müsste man demnach die zweite und die dritte Ableitung gleich null setzen. Nur "x-Wert" die in beiden Fällen null ergeben, müssten "Stellen" sein an denen der Graph geradeaus geht / fortschreitet ohne seine Richtung zu ändern. Und diese sind nicht alle Wendestellen des Graphen :) Gegenargumentation?

Answer 2

Ist vielleicht ein Wendepunkt, der in einem Sattelpunkt liegt, gemeint? Das ist ein spezieller Wendepunkt. Deine Beschreibung würde dazu passen, aber ansonsten weiss ich nicht, was mit "in gerader Richtung weitergeht, ohne die Richtung zu ändern".

Hier ein Sattelpunkt:

f(x) = x^3