Hohlzylinder Integration Reihenfolge

Question

Ein zu r z Achse rotationssymmetrischer Hohlzylinder hat den inneren r=1 , den äußeren r=3 und wird von den Ebenen mit den Gleichungen z=1 und z=4 begrenzt. Berechnen Sie die Masse des Hohlzylinders, wenn die Massendichte gegeb ist durch:

\( \varrho(x, y, z)=\frac{1}{z\left(x^{2}+y^{2}\right)} \)

Meine Grenzen:

\( 2 \leq r \leq 3 \)
\( 0 \leq \varphi \leq 2 \pi \)
\( 1 \leq z \leq 4 \)

Wie stelle ich nun das Integral auf? Mir ist Klar das ich ein 3-Fach Integral habe und die Grenzen einsetzen muss, aber in welcher Reihenfolge? Ist die Reihenfolge egal?

Answer 1

Hi,
wenn der innere Radius 1 ist sind die Integrationsgrenzen für den Radius \( 1 \le r \le 3 \)
Dann würde ich Zylinderkoordinaten einführen, damit wird die Funktion \( \rho(x,y,z)=\frac{1}{z(x^2+y^2)} \) zu \( \rho(z,\varphi,r)=\frac{1}{zr^2} \)
Bei der Transformation auf Zylinderkoordinaten musst Du den Betrag der Funktionaldeterminante berücksichtigen. Für Zylinderkooordinaten ergibt sich der Faktor \( r \)

Damit ist noch folgendes Integral zu berechnen
$$ \int_1^3\int_0^{2\pi}\int_1^4\frac{1}{zr^2}\cdot r\cdot dz\cdot d\varphi\cdot  dr=2\pi\cdot ln(4)\cdot ln(3) $$