Textaufgabe zum Logarithmus: Gott Zeus und der mächtige Kelch

Question

Der griechische Gott Zeus befahl seinem Schmied Hephaistos eine perpetuierliche Wassermaschine zu bauen (ein sog. Perpetuum mobile), um den mächtigen Kelch von Zeus füllen zu können. Das Volumen des Kelches betrug etwa 150 Trilliarden* Gallonen (das ist eine 15 gefolgt von 22 Nullen). 

Wenn Hephaetus' Maschine in der ersten Minute 2 Gallonen ausschüttete und die Wasserausgabe je Minute verdoppelte, nach wie vielen Minuten wäre diese hypothetische Maschine in der Lage, den Kelch von Zeus mit einer einzigen Wasserausgabe zu füllen?

Aufgabe: Gleichung aufstellen und lösen :)

 

*150 Trilliarden = 150*10²¹

Answer 1

Die Ausgabe verdoppelt sich mit jeder Minute, du kannst dir das so vorstellen: 

Kelchvolumen = 2 *2 *2 *2 *... = 2ⁿ

Die erste 2 sind die 2 Gallonen. Jede *2 steht für die Verdoppelung. n ist die n-te Minute.

Also für die 1. Minute (n = 1) → 2¹ = 2 Gallonen oder für die 4. Minute (n = 4) → 2⁴ = 16 Gallonen.

Dann sollen wir die Zeit für die Ausgabe von 150*10²¹ Gallonen (das Volumen des Kelches) ermitteln. Um den Exponenten n berechnen zu können, benutzen wir den Logarithmus:

2ⁿ = 150*10²¹ Gallonen

2ⁿ = 150*10²¹   | Logarithmus ln

ln (2ⁿ) = ln(150*10²¹)    | Logarithmusregel, dass hoch n vormultipliziert werden darf

n*ln (2) = ln(150*10²¹)    | nach n umstellen, also : ln(2)

n = ln(150*10²¹):ln (2)    | in den Taschenrechner eingeben

n = 76,98930868...

n ≈ 77 min

In der 77. Minute ist die Wasserausgabe so groß, dass sie den Kelch von Zeus füllt.

 

Falls du dich mit dem Logarithmus noch nicht so gut auskennst, schau dir folgendes Video (Einführung zum Logarithmus) an:

https://www.youtube.com/watch?v=oDOXeO9fAg4

Quelle: Mathe-Lektion G23: Logarithmus + Logarithmengesetze

Answer 2

Die Gleichung lautet:

V= 150*10^21

t = 76.989

In ca. 77 Minuten ist es soweit.

LG

Capricorn