Wie bestimmt man näherungsweise die Lösungen dieser Gleichung? 624 = q^4+q^3+q^2+q

Question

Wie bestimmt man näherungsweise die Lösungen von:

624 = q⁴+q³+q²+q

Durch Probieren weiss ich, dass eine Lösung zwischen 4 und 6 und eine weitere zwischen -6 und -4 liegen müsste.

Answer 1

Eine Möglichkeit um solche Gleichungen zu lösen (die außerdem sehr schnell konvergiert) ist das Newton-Verfahren.

Dafür überführt man die die zu lösende Gleichung zunächst in einen Term T(q) mit der Form T(q)=0.

Das ist in diesem Fall

T(q) = q⁴+q³+q²+q-624

 

Beim Newtonverfahren beginnt man jetzt mit einem "Tipp" für die Nullstelle und berechnet eine bessere Approximation gemäß

x_n+1 = x_n - T(x_n)/T'(x_n)

 

Im Beispiel: T'(q) = 4q³+3q²+2q+1

Beginnt man mit x₀ = 4, so sehen die folgenden Werte so aus:

x₁ ≈ 4,907

x₂ ≈ 4,722

x₃ ≈ 4,711

Und ab da bleibt die Ausgabe bereits auf allen von meinem Taschenrechner angezeigten Stellen identisch.

Die komplette Ausgabe lautet übrigens x₃ ≈ 4,71097865

Das ist jetzt also eine Lösung mit der Genauigkeit ±10^-8 in nur 3 Iterationsschritten, was wirklich ziemlich gut ist.

Setzt man die Zahl 4,711 einfach mal in die Ausgangsgleichung ein, so erhält man:

4,711⁴+4,711³+4,711²+4,711 ≈ 624,01

also bereits ziemlich gut das gewünschte Ergebnis.

 

Comments

Die zweite Lösung erhält man dann übrigens durch die Wahl eines anderen Startwerts, der zwischen -4 und -6 liegt.

Sie lautet ungefähr -5,223.