Es sei V der R Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 3 und F die Abbildung

Question

Es sei V der R Vektorraum der reellen Polynome vom grad<=3 und F die Abbinldung V->R^4, die jedem Polynom p(X) den Spaltenvektor F(p)=(p(0), p'(1),p''(2),p'''(3))^t  zugeordnet(Striche meinen ableitungen).E sei die kanonischen Basis von R⁴ und A=(1,X,X²,X³) eine Basis von V.

1) bestimmen sie die darstellende matrix M^A_E(F)

ich habe die Antwort abe rich weiss nicht wie man drauf kommt. Also als Ergebnis habe ich M^A_E=((1,0,0,0)^t,(0,1,0,0)^t ,(0,2,2,0)^t,(0,3,12,6)^t). wie kommt man darauf verstehe ich nicht.

2) rechnen sie diese mit einer koordonatentransformation in M^B_A(G) für die beiden Basen A((1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(1,1,1,0)) und B=((1,2),(-2,0))

ich habe auch die antwort von 2 aber verstehe es auch nicht: B=(1,X,1/2²-X,1/6X³-X²+3/2X)

ich danke allen im voraus:)

Answer 1

Hi, falls es noch von Interesse ist

1) Du hast die Lineare Abbildung F, die jedes Polynom 3. Grades abbildet auf

$$ F(p) \quad =\quad \begin{pmatrix} p(0) \\ p'(1) \\ p''(2) \\ p'''(3) \end{pmatrix} $$

Da du eine Basis für V hast kannst du jedes Polynom dritten Grades als Vektor identifzieren:

Das heisst für ein Polynom $$ p(x)\quad =\quad dx^{ 3 }+cx^{ 2 }+bx+a $$ hast du für die Basis

A = {1,X,X^2,X^3} den Vektor $$ \vec { p } =\quad \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} $$.

(Ich habe die Koeffizienten absichtlich in umgekehrter Reihenfolge beschriftet, damit das mit der Vektordarstellung einfach ist).

Jetzt entspricht deine Abbildung F einer linearen Abbildung zwischen 2 Vektorräumen und kann durch die darstellende Matrix $${ M }_{ E } ^{ A }$$ bezeichnet werden also

$$ F(p) = { M }_{ E } ^{ A }p =\quad \begin{pmatrix} p(0) \\ p'(1) \\ p''(2) \\ p'''(3) \end{pmatrix}$$.

Allgemein kannst du jetzt $${ M }_{ E } ^{ A }$$ dadurch berechnen, dass du dir die Abbildung der Basisvektoren

von E anschaust. Diese ergeben nämlich die Zeilenvektoren von $${ M }_{ E } ^{ A }$$.

Oder du nimmst ein beliebiges Polynom und ließt die Matrix an der Abbildung von F(p) ab:

$$ { M }_{ E } ^{ A }p =\begin{pmatrix} a \\ b\quad +\quad 2c\quad +\quad 3d \\ 2c\quad +\quad 12d \\ 6d \end{pmatrix}\quad =\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \quad 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} $$.

Das ist im Grunde wie die allgemeine Vorgehensweise, nur dass du alle Abbildungen der Einheitsvektoren auf einmal betrachtest.

zu 2)

Ich geh davon aus das A die neue Basis für E sein soll? und Was genau soll B sein? In deiner Schreibweise sieht das aus wie eine 2x2 Matrix? Oder soll dies ein 1x4 Vektor sein aus V?