Aufgabe:
Zu berechnen ist das Kurvenintegral
\( \oint_{l}\left[x y \mathrm{~d} x+y^{3} \mathrm{~d} y\right] \)
welches in der \( x, y \)-Ebene über den geschlossenen Weg \( (l) \) führt, der von \( P_{0}(1 ; 0) \) beginnend zuerst entlang eines Viertelkreises nach \( P_{1}(0 ; 1) \) verläuft, dann entlang der \( y \)-Achse zum Koordinatenursprung und schließlich auf der \( x \)-Achse entlang zum Ausgangspunkt zurückführt. Lösung: Wir berechnen die Beiträge der drei Wegabschnitte zum gesamten Kurvenintegral nacheinander:
Den Viertelkreis (Radius \( r=1 \) ) beschreiben wir durch die Parameterdarstellung \( x=\cos t, y=\sin t \), was auf \( \mathrm{d} x=-\sin t \mathrm{~d} t \) und \( \mathrm{d} y=\cos t \mathrm{~d} t \) führt.
Dabei gilt für den Viertelkreis \( 0 \leq t \leq \pi / 2 \). Damit hat man als Beitrag zum Kurvenintegral
\( \begin{aligned} I_{1} &=\int \limits_{0}^{\pi / 2}\left(-\cos t \sin ^{2} t+\sin ^{3} t \cos t\right) \mathrm{d} t \\ &=\left[-\frac{1}{3} \sin ^{3} t\right]_{0}^{\pi / 2}+\left[\frac{1}{4} \sin ^{4} t\right]_{0}^{\pi / 2}=-\frac{1}{12} . \end{aligned} \)
Entlang der \( y \)-Achse hat man \( x=0, y=t, \mathrm{~d} x=0 \) und \( \mathrm{d} y=\mathrm{d} t \), wobei \( t \) von 1 nach 0 abnimmt. Dies liefert den Beitrag
\( I_{2}=\int \limits_{1}^{0} t^{3} \mathrm{~d} t=\left[\frac{1}{4} t^{4}\right]_{1}^{0}=-\frac{1}{4} \)
für den zweiten Teilweg. Schließlich hat man entlang der \( x \)-Achse \( x=t, y=0 \), \( \mathrm{d} x=\mathrm{d} t \) und \( \mathrm{d} y=0 \), sodass wir wegen \( I_{3}=0 \) von diesem Teilweg keinen Beitrag haben. Insgesamt hat man damit \( I=I_{1}+I_{2}=-1 / 3 \).
Ansatz/Problem:
Bei der Aufgabe verstehe ich leider die Parametisierung x=0 und y=t. Wie komme ich denn auf diese Parametisierung? Da es ja von Punkt (0/1) zum Koordinatensprung (P(0/0) geht, kann ja die Geradengleichung:(
x=0+0t
y=1-1t
erstellt werden. (Vektorgeradengleichung)
Meine Grenzen wären dann nämlich von 0 und 1. Mit meiner gewählten Parametisierung komme ich jedoch auf ein anderes Ergebnis. Meine Vermutung ist, das ich es versuche über Methode der Integration über x-Achse zu lösen. Hier jedoch gar keine Bewegung in der x-Achse stattfindet sondern über die y-Achse. Da weiß ich leider nicht wie ich dann umformen muss.
Wie komme ich also auf die zweite Parametisierung?
