Wie kürze ich bei Grenzwerten?

Question

Brauche die Lösung:

a) cn=3n-2:(2+n)

b)cn=n+(1/n):n

c)cn=2nHOCH2+n-5:(4n-2nHOCH2)

d)cn=(n-1)(2n+1)HOCH2 : (nHOCH2 - n HOCH3)

Comments

Wo hat das mit Grenzwerten zu tun? Bitte genau Aufgabenstellung!

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Bitte auch noch mal nachsehen, ob du bei den Zählern alle Klammern gesetzt hast. So wie du das jetzt hingeschreibene hast, gehen viele Folgeglieder nach unendlich, was bei solchen Übungsaufgaben normalerweise nicht vorkommt.

Answer 1

Ich habe die Aufgaben mal so geklammert wie eine Klammerung eventuell Sinn geben würde. Bei Brüchen sind Zähler und Nenner zu Klammern, wenn man die Klammer nicht weglassen kann.

a) cn = (3·n - 2)/(2 + n)

lim (n→∞) (3·n - 2)/(2 + n)

= lim (n→∞) (3 - 2/n)/(2/n + 1) = (3 - 0)/(0 + 1) = 3

b) cn = (n + 1/n)/n

lim (n→∞) (n + 1/n)/n

= lim (n→∞) (1 + 1/n^2)/1 = (1 + 0)/1 = 1

c) cn = (2·n^2 + n - 5)/(4·n - 2·n^2)

lim (n→∞) (2·n^2 + n - 5)/(4·n - 2·n^2)

= lim (n→∞) (2 + 1/n - 5/n^2)/(4/n - 2) = (2 + 0 - 0)/(0 - 2) = - 1

d) cn = (n - 1)·(2·n + 1)^2/(n^2 - n^3)

lim (n→∞) (n - 1)·(2·n + 1)^2/(n^2 - n^3)

= lim (n→∞) (4·n^3 - 3·n - 1)/(n^2 - n^3)

= lim (n→∞) (4 - 3/n^2 - 1/n^3)/(1/n - 1) = (4 - 0 - 0)/(0 - 1) = - 4

Answer 2

Hab die Klammern mal so gesetzt, wie es am meisten Sinn macht.

$$a) \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { c }_{ n } } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 3n-2 }{ 2+n }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { n\left( \frac { 3n }{ n } -\frac { 2 }{ n }  \right)  }{ n\left( \frac { 2 }{ n } +\frac { n }{ n }  \right)  }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \left( 3-\frac { 2 }{ n }  \right)  }{ \left( \frac { 2 }{ n } +1 \right)  }  } =\frac { 3-0 }{ 0+1 } =\frac { 3 }{ 1 } =3$$

$$d) \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { c }_{ n } } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { (n-1){ (2n+1) }^{ 2 } }{ n²-n³ }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { (n-1){ (4n²+4n+1) } }{ n²-n³ }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { (n-1){ (4n²+4n+1) } }{ -n²(-1+n) }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ -\frac { { 4n²+4n+1 } }{ n² }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ -\frac { { n²\left( \frac { 4n² }{ n² } +\frac { 4n }{ n² } +\frac { 1 }{ n² }  \right)  } }{ n² }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ -\left( 4+\frac { 4 }{ n } +\frac { 1 }{ n² }  \right)  } =-(4+0+0)=-4$$

Die b) und c) funktionieren nach dem selben Schema. Immer größte Potenz im Nenner und Zähler ausklammern. Alle Summenglieder, die durch n oder n² geteilt werden, werden für n→∞ Null. Und natürlich auch immer das kürzen, was man sonst in Brüchen auch kürzen kann. So wie bei der Aufgabe d)