Ungleichung lösen (x-3)/|6x-6|<12

Question

Hallo liebe Leute :D

ich muss folgende Ungleichung lösen:

$$ \frac { x-3 }{ |6x-6| } <\quad 12 $$

da es sich um eine Ungleichung handelt, die einen betrag im nenner hat, gelten erstmal diese regeln:

|x| = x > 0 = x

|x| = x < 0 = -(x)

also; betrag positiv, betragsstriche fallen weg, betrag negativ, betragsstriche werden durch ein minus `ersetzt'

Ungleichung multiplizieren mit einem positiven rechenterm: relationszeichen wird beibehalten

Ungleichung multiplizieren mit einem negativen rechenterm: relationszeichen wird umgedreht

erstmal hier die frage, ist das soweit richtig?

ich habe dann eine fallunterscheidung vorgenommen

1. fall

6x-6 > 0  → x > 1

x-3 < 12(6x-6)

x-3 < 72x-72 | -x

-3 < 71x-72   | +72

69 < 71x        | :71

x > 0,971

2. fall

6x-6 < 0 → x < 1

x-3 > 12(-(6x-6)

x-3 > 12(-6x+6)

x-3 > -72x+72    | +3

x > -72x + 75     | +72x

73x > 75             | : 75

x > 1,027

ich hab also beide Ungleichungen gelöst und komme in beiden fällen auf kein Ergebnis, also bekomme eine leermenge raus. auch wenn das zwar sein kann... find ich es irgendwie seltsam xD

mag das vielleicht mal jemand eben durchrechnen und mir sagen, ob und wo da mein Denkfehler ist? wenn ich mich nicht verrechnet hab, kommt beim 2. fall ja offensichtlich eine leermenge raus, weil das Ergebnis den definitionsbereich nicht erfüllt.. ?!

beim 1. bin ich mir unsicher. aber wenn x ja schon größer sein muss als 1, und beim ergebis nur größer als 0,97, könnte x ja schließlich auch 0.98 sein und erfüllt den Def. daher nicht, oder?

es wäre wirklich cool, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte. ich muss die aufgabe am montag abgeben. zwar muss sie nicht richtig sein, aber ich hätte sie gerne richtig :D

danke im voraus und schönen samstag

Comments

Setze mal x=2 ein. Offenbar wird die Ungleichung dann erfüllt. In Deiner Rechnung stimmt also irgendetwas nicht. Weiter ist es oft eine gute Idee, erst umzuformen und dann die Fälle zu unterscheiden. Und schließlich könnte man hier vielleicht mit einer ganz anderen Fallunterscheidung mehr erreichen...

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So, einen Fehler finde ich auf die Schnelle in Deinen Rechnungen nicht.

Außer diesem hier:

!. Fall, Ergebnis:

Es muss gelten x > 1   und    x > 69/7.

Das ist äquivalent zu x>1, also insbesondere nicht leer.

Answer 1

Fehlerhinweis und Lösung

Im 2.Fall hast du gerechnet

2. fall
6x-6 < 0 → x < 1
x-3 > 12(-(6x-6))
( -(6x-6)) ist durch die Multiplikation positiv geworden
das heißt : das Ungleichheitszeichen bleibt so wie es ist
x-3 < 12(-(6x-6))
( x < 75/3  ) und ( x < 1 ) ( Eingangsvoraussetzung ergibt )
x < 1

1.Fall
( x > 69/71 ) und ( x > 1 ) ( Eingangsvoraussetzung ergibt )
x > 1

x = 1 war als Division durch 0 in der Ausgangsgleichung eh
ausgeschlossen

Lösungsmenge ( x > 1 ) und ( x < 1 )
Die Lösung stimmt. Lass dir einmal den Graph aufzeichnen.

Comments

Danach ist die Lösungsmenge leer.

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Lösungsmenge ( x > 1 ) und ( x < 1 )

L = - unendlich bis plus unendlich ohne die 1
L = ℝ \ { 1 }

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Für welches  x ∈ ℝ  gilt  denn  x > 1  und  x < 1 ?

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Dich stört also das " und ".

Du hast jetzt das " und " im Sinn der boolschen Algebra im Sinn :
Falls A und B dann..
Nur falls A und B wahr sind dann ist auch die Gesamtaussage wahr.

Hier ist das " und " im Sinn der Mengenlehre gebraucht.
Lösungsmenge ( x > 1 ) und ( x < 1 )
Stell dir links in einem Kreis die Menge aller Zahlen
kleiner 1 vor.
Stell dir rechts in einem Kreis die Menge aller Zahlen
größer 1 vor.
Die Vereinigungsmenge " und " ist die Menge links
und rechts. Beide zusammen.

Spruch des Tages : locker vom Hocker oder es bleibt kompliziert.

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Du schreibst aber auch
( x < 75/3  ) und ( x < 1 ) ( Eingangsvoraussetzung ergibt ) x < 1.
(Gemeint ist wohl  x < 75/73.)
Das wäre dann aber der Schnitt und nicht die Vereinigung.

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Du weist zurecht darauf hin das ich das Wort " und " mal für
eine Vereinigungsmenge und mal für eine Schnittmenge
verwendet habe.

Ich muß dir sagen das es Mengenlehre in meiner Schulzeit
noch nicht gab.

Im ersten Fall ist es die Schnittmenge
( x < 75/73  ) und ( x < 1 )
x muß kleiner 75/73 sein und x muß kleiner 1 sein => x < 1

Im zweiten Fall ist es die Vereinigungsmenge
Fall 1 : x > 1 
Fall 2 : x < 1

x kann sowohl größer 1 als auch kleiner 1 sein.

Am besten du fragst deinen Lehrer wie der Fall mathematisch
exakt notiert wird.

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Letzteres gilt wohl eher für dich.

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Ich habe dich auf deine Fehler aufmerksam gemacht und dir
die richtige Lösung hergeleitet. Oder?
Undank ist halt der Welten Lohn.

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Es ist gerade umgekehrt.

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Deine Funktion ist stets unterhalb von 12.
1 ist eine Polstelle.
Hier der Graph

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Ich gebe nocheinmal die Antwort ohne das Reizwort " Menge " zu
verwenden.
( Die Berechnungen sind bekannt )

1. Fall für
6x-6 > 0  => x > 1
Die Lösung muß im Zahlenbereich ( x > 1  ) liegen
Die Lösung ist der Zahlenbereich x > 69 /71 ( 0.97 )
Daraus ergibt sich die Lösung x > 1

2. Fall für
6x-6 < 0  => x < 1
Die Lösung muß im Zahlenbereich ( x < 1 ) liegen
Die Lösung ist der Zahlenbereich x < 75 / 73 ( 1.03 )
Daraus ergibt sich die Lösung x < 1

Wird für
x eine Zahl größer 1 
oder  für
x eine Zahl  kleiner 1  eingesetzt
wird die Ungleichung  zu einer wahren Aussage.

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danke für die antworten  (:

habe mir jetzt alles durchgelesen und überarbeitet.

ich verstehe allerdings das nicht:

Im 2.Fall hast du gerechnet

2. fall
6x-6 < 0 → x < 1
x-3 > 12(-(6x-6))
( -(6x-6)) ist durch die Multiplikation positiv geworden
das heißt : das Ungleichheitszeichen bleibt so wie es ist
x-3 < 12(-(6x-6))

heißt das, wenn unterm bruch nur 6x-6 gestanden hätte (also ohne betrag) und ich von 6x-6<0 ausgegangen wäre, dass sich das relationszeichen dann umgedreht hätte? wird der term in diesem fall nur durch das ersetzen des betrags durch ein  -   positiv? ich steig da ehrlich gesagt noch nicht so hinter.

ich dachte gerade weil ich davon ausgehe, DASS mein term negativ ist, dreht sich das zeichen um..

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2. Fall
( 6 x - 6 ) < 0 → x < 1

Ausgangsgleichung :
( x - 3 ) /  | 6 x - 6 |  < 12
für den 2.Fall
( 6 x - 6 ) < 0
gilt
| 6 x - 6 | =  ( 6 x - 6)*(-1)
( 6 x - 6)*(-1)  ist nunmehr positiv

Einsetzung
( x - 3 ) /  [ ( 6 x - 6)*(-1) ]  < 12

Das Ungleicheitszeichen < bleibt bei einer Multiplikation
mit einem positivem Wert bestehen
( x - 3 )  <   12 * [ ( 6 x - 6)*(-1) ]

Ganz allgemein : der Ausdruck im Nenner
kann nicht negativ werden da er in Betragszeichen steht

Solltest du für x < 1 ersetzen
( x- 3 ) / ( 6x - 6 )  ändert sich das Vorzeichen
des gesamten Ausdrucks
Vorher : positiv / postiv < 12
Nachher : positiv / negativ > 12
( dann muß das Ungleichheitszeichen gedreht werden )

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Wir sind mittlerweile ins voll komplizierte abgeglitten wobei
die Rechenregel für ein Betragszeichen doch völlig einfach ist.

Taucht in einer Berechnung ein Betragszeichen
| Ausdruck | auf so sind 2 Fälle getrennt zu berechnen

1. Fall Ausdruck > 0 :
| Ausdruck | = Ausdruck und weiterrechnen

2.Fall Ausdruck < 0 ;
| Ausdruck | = [ Ausdruck * (-1) ] und damit  weiterrechnen
Alles bleibt so bestehen. Es müssen keine Ungleichheitszeichen
umgedreht werden.

Du kannst deine Berechnung einmal nach dieser Vorgabe
durchführen. Vergiß alle früheren Überlegungen und Berechnungen.

Answer 2

So, da ich nun weg muss und Deine Rechnungen nur überflogen habe, kann ich dazu nicht mehr viel sagen.

Hier als Antwort noch ein Tipp: Wenn Du mit einer Fallunterscheidung beginnen willst, dann unterscheide doch mal nach dem Vorzeichen der linken Seite. Das wird viel Arbeit sparen.

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So, hier mal meine Gedanken zur Ungleichung

$$ \frac { x-3 }{ \left|6 \cdot x-6\right| } < 12 \quad \land \quad x\ne1$$

Für x ≤ 3 und x ≠ 1 ist die linke Seite der Ungleichung negativ und die Ungleichung somit offensichtlich erfüllt.
 
Für x > 3 ist das Betragsargument immer positv und der Betrag kann aufgelöst werden. In diesem Falle ist die Ungleichung äquivalent zu

$$ \begin{aligned} \frac { x-3 }{ 6 \cdot x-6 } &< 12 \quad \land \quad x>3 \\\\ x-3 &< 72 \cdot x - 72 \quad \land \quad x>3 \\\\ -71 \cdot x &< -69 \quad \land \quad x>3 \\\\ x &> \frac { 69 }{ 71 } \quad \land \quad x>3 \\\\ &x>3. \end{aligned}$$

Insgesamt erfüllen also alle von 1 verschiedenen, reellen Zahlen die Ungleichung.

Answer 3

Ich probiere es nur noch mal etwas strukturiert aufzuschreiben:

(x - 3) / |6·x - 6| < 12 mit x ≠ 1

x - 3 < 12·|6·x - 6|

x - 3 < |72·x - 72|

Fall 1: x > 1

x - 3 < 72·x - 72

69 < 71·x

x > 69/71

--> x > 1

Fall 2: x < 1

x - 3 < - (72·x - 72)

x - 3 < 72 - 72·x

73·x < 75

x < 75/73

--> x < 1

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danke nochmal an euch alle für die antworten

habs jetzt verstanden :D klar, hab in dem fall nicht dran gedacht, dass es sich um einen betrag handelt, der ja ohnehin nur positiv sein kann.

aber da konnte ich heute wenigstens die aufgabe guten gewissens abgeben (: