Eigenschaften von Logarithmus als Summe: Zeige a) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = log(2)

Question

Benütze die folgende Eigenschaft:

log(1 + z) = $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { (-1) }^{ n+1 } }{ n }  } { z }^{ n } $$                                                konvergiert für

$$ \left| z \right| $$ ≤1, z ≠ -1

um zu zeigen, dass

(a) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = log(2)

(b) 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = π/4

Comments

Bei (a) kannst du in der gegebenen Formel z=1 einsetzen.

Bei (b) müsstest du

log(1+z) = π/4 nach z auflösen, um zu wissen, was du da einsetzen kannst.

---

Danke, und wie kann ich so etwas auflösen? Irgendwie seh ich den zusammenhang zwischen diesem Log und π/4 nicht...

---

Ich hab leider keine Ahnung, was ihr da schon kennt. Hier mal die Auflösung nach z. 

log(1+z) = π/4

1+z = e^{π/4}

z = e^{π/4} - 1

Diese Zahl müsste man nun in die gegebene Formel einsetzen. Das könnte ein arctan oder so was sein. 

---

dieses z liegt nur leider überhaupt nicht im Konvergenzbereich der Reihe

---

hj215

Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe

Vielleicht findest du ja den fehlenden Link zur Fragestellung.

---

Man setze  z = i  und sortiere nach Real- und Imaginärteil, Anwenden der Eulerschen Identität liefert das Ergebnis.

Answer 1

für (a): Schreib die Summe mal mit dem Summenzeichen auf und vergleiche sie mit der Reihenentwicklung von log(1+z) dann springt dir die Lösung förmlich ins gesicht.

bei (b).: Da müsstest du schon mehr Informationen bringen, meine Glaskugel verrät mir grade nicht, welche Reihenentwicklung ihr schon gemacht habt, bzw. was pi für euch bedeutet.

Comments

Erstmals Danke für deine Antwort,

das ist ja das Problem, ich weiss nicht einmal wie ich die Aufgabe verstehen soll bzw. was ich überhaupt machen muss, darum habe ich sie in erster Linie in dieses Forum geschrieben, um Lösungansätze zu erhalten.

Ich versteh au nicht, wieso das  log(2) bzw. pi/4 geben soll :(

Ich versteh dass es Reihen sind, aber nicht wieso es ein "n" und ein "z" in der Formel hat und wie ich das genau zeigen soll, dass die unteren Werte den angegebenen Zahlen entsprechen...

---

Fang doch erstmal damit an die Reihen zu notieren, bzw. du kannst es auch wie Lu vorgeschlagen hat zuerst versuchen zu schauen was z sein muss, um die gleichng log(1+z) = log(2) etc. zu lösen und dann die Reihendarstellung von dieser spezifischen Lösung notieren und schauen, ob sie nach deiner Voraussetzung konvergiert.

---

Aso (a) habe ich nun verstanden, aber (b) weiss ich wirklich nicht, wie ich da mit dieser Formel auf pi/4 kommen sollte...