Bestimme die Schnittfiguren und zeichne sie, so gut es geht, in deine Zeichnung ein. (Vektoren)

Question

Aufgabe:

Es sei \( E_{1} \) die Ebene mit der Gleichung \( z=3 \), und es sei \( E_{2} \) die Ebene mit der Gleichung \( z=1 \). Diese Ebenen schneiden das Tetraeder. Bestimme die Schnittfiguren und zeichne sie, so gut es geht, in deine Zeichnung ein.

Geometrie konkret. Die vier Punkte \( A(0,0,0), B(3,-1,0), C(2,3,2) \) und \( D(1,0,4) \) sind die Eckpunkte eines Tetraeders, mit dem du dich nun beschäftigen sollst.

Answer 1

Modellere alle Kanten über eine Geradengleichung

AB:
AC:
AD:
BC:
BD
CD:

Ich mache das für AC

AC: X = [0, 0, 0] + r·([2, 3, 2] - [0, 0, 0]) = [0, 0, 0] + r·[2, 3, 2]

Bestimmt den Schnittpunkt mit der Ebene z = 3

[0, 0, 0] + r·[2, 3, 2] = [x, y, 3] --> x = 3 ∧ y = 4.5 ∧ r = 1.5

Da r nicht im Bereich von 0 bis 1 wird die Kante hier nicht geschnitten.

So solltest du es für alle 6 Kanten machen. Wenn die Kante durch die Ebene Geschnitten wird erhältst du einen Punkt. Alle Schnittpunkte ergeben am Ende deine Figur.

TIPP: Nur die Kanten AD, BD, und CD können von z = 3 geschnitten werden. Warum ist das so ? schau dir mal die z-Koordinaten der Punkte an.

Wie ist das mit z=1

Hier können nur AC, AD, BC und BD geschnitten werden. Warum ist das so? Schau dir auch hier mal die z-Koordinaten der Punkte an.

Comments

Zitat: So solltest du es für alle 6 Kanten machen.

Das ist viel zu aufwändig. Man kann ohne Geraden ermitteln, ob und welche Schnittpunkte es gibt.

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Ja. Siehe auch mein TIPP. Es schadet aber nicht es für alle 6 zu machen. Eventuell geht dann dem Fragenden auch ein Licht auf.

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Ich habe was andere für x und y raus. Und was sagen mir diese Punkte? Ich habe das nicht ganz verstanden mit r liegt nicht im Bereich zwischen 1 und 0.

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erstmal steht dort nicht 2r = 1 sondern 2r = x

letzte zeile ist richtig 

2r = 3 --> r = 1.5

Dann folgt für x

2r = x --> x = 3

3r = y --> y = 4.5

Aber wenn r = 0 ist dann ist der Anfangspunkt der Strecke gemeint. Ist r = 1 ist der Endpunkt der Strecke gemeint. Ist r > 1 ist es ein Punkt hinter dem Endpunkt der Strecke. Also kein Punkt der Strecke.

Answer 2

Hi, das sind zwei Koordinatengleichungen für Ebenen, die parallel zur xy-Ebene liegen. Ausgeschrieben läse sich das so:

0x + 0y +1z = 1 (bzw. 3)