Question

Stammfunktion einer Wurzel bilden:

\( f(x)=\sqrt{2 x+x^{2}}=\left(2 x+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \)

Mein Ansatz, bin mir jedoch nicht sicher:

\( F(x)=\frac{2}{3}\left(2 x+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} · \frac{1}{2 + 2x}\)

Comments

Das ist kein einfaches Integral, auch wenn es zuerst einfach aussieht. Deine Lösung funktioniert so nicht, hast du ja bestimmt schon selbst bemerkt, wenn du deine Lösung mal abgeleitet hast.

Bei Wurzeln ist es meist günstig mit Substitution zu arbeiten. Und bei Summen mit einem x² unter der Wurzel mit sin(x), cos(x) oder sinh(x), cosh(x) zu substituieren.

Führt aber beides nicht zu einem einfachen Ergebnis und es kommt etwas sehr Unschönes als Integral heraus.

Anders sieht es aus, wenn die Wurzel bei einem Bruch im Nenner steht und der Bruch noch mit x multipliziert wird, dann kannst du einfacher substituieren und bekommst dann ein sehr einfaches Integral heraus.

Woher hast du die Aufgabe?

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Das, was du da eigentlich machst, wenn du diese Funktion intergrierst, ist Substituieren. Nur machst du das bisher im Kopf.

Wenn deine Funktion am Anfang etwas anders ausgesehen hätte, dann wäre sie auch einfach gewesen. Dazu hätte nur die Ableitung der inneren Funktion als Faktor vor der Wurzel stehen müssen.

$$\int { 2x\sqrt { { x }^{ 2 }-1 }dx } $$

Substitution mit u=x²-1

du = 2x dx

dx= du / 2x

$$\int { \sqrt { u } du } $$

Das kann man dann wieder gut integrieren und die Stammfunktion dann wieder resubstituieren

Answer 1

\( \int \sqrt{2·x + x^2} ~dx = \frac{ (x + 1) · \sqrt{x·(x + 2)} - \ln( \sqrt{x·(x + 2)} + x + 1) }{ 2 } \)

∫ √(2·x + x^2) dx = ((x + 1)·√(x·(x + 2)) - LN(√(x·(x + 2)) + x + 1))/2

Tipp: Dass deine Lösung verkehrt ist, könntest du zeigen, indem du einfach mal deine Stammfunktion ableitest. Dann sollte ja die ursprüngliche Funktion herauskommen.