Lineare Algebra. Geg: a irrationale und b rationale Zahl. Zeige durch Widerspruch: a+b und a*b sind irrational.

Question

Ich bräuchte e Hilfe bei einer Aufgabe im linearen Algebra !

Aufgabe 2. (Beweis durch Widerspruch) Seien a eine irrationale und b eine rationale Zahl. Zeigen

Sie:

(a)  a + b ist irrational.

(b)  a · b ist irrational, falls b ≠ 0.

(c)  Man betrachte die Gerade im ℝ², die durch die Gleichung y = ax + b gegeben ist. Dann gibt es nur einen Punkt        auf der Geraden, der rationale Koordinaten hat, nämlich (0, b).

Answer 1

Seien a eine irrationale und b eine rationale Zahl. Zeigen Sie:

(a)  a + b = c ist irrational.

Indirekter Beweis: Annahme c ist rational.

Dann gilt c = m/n. Da b rational gilt b= r/s (dabei m,n,r,s ganze Zahlen und weder n noch s sind 0)

Einsetzen in a + b = c

a + r/s = m/n

a = m/n - r/s = (ms - r n)/(ns) = p/q             .

 mit p= ms-rn ist eine ganze Zahl und q=ns ist eine ganze Zahl ungleich 0.

D.h. a ist rational. Das ist eine Widerspruch zur Voraussetzung 'a ist irrational.'. Die Annahme a+b ist rational ist somit falsch.

Beweis von b) analog.

Comments

Ty so much omg. You helped me out a lot

Answer 2

Da \( b \) rational ist, hat \( b \) eine Darstellung der Form \( b=\frac{m}{n} \). Setze nun diese Form für \( b \) ein und nehme an, dass das Ergebnis auch rational ist, also z.B. eine Darstellung der Form \( \frac{p}{q} \) hat. Dann berücksichtige das die Subtraktion und die Multiplikation rationaler Zahlen wieder eine rationale Zahl ergeben. Das führt zu dem gewünschten Widerspruch.

Comments

Ich versteh das leider nicht, könnten Sie mir das nicht durch einen Rechenweg veranschaulichen bitte ?

---

Also machmal nervt mich das Forum hier. Alle wollen fertige Lösungen und kaum einer ist bereit sich wirklich mit der Materie zu beschäftigen. Deshalb gibt es hier auch immer auf fertige Antworten immer Sonderpunkte. Aber so gewinnt man keine Erkenntnisse. Mathematik ist Arbeit und besteht nicht aus abschreiben fertiger Lösungen.

---

Ja das stimmt aber bei Ihnen war es wirklich sehr unverständlich zu verstehen aber ich danke Ihnen trotzdem :) ! Hut ab :)