Flächenberchnung mit Normalen

Question

Hallo wie rechnet man das ?

K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x)=(x+2)*e^-x. Die Tangente und die Normale bei x=0 schließen mit der x-Achse ein Dreieck ein. Berechnen sie dessen Fläche.

Bestimme die Ableitungsfunktion folgender Funktionen:

1) 4cos(1/2x)

2) 3/(x^2)

3) 1/2*a*t^2

4) (2/x)-5^x

Danke

Answer 1

K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x)=(x+2)*e^-x. Die Tangente
und die Normale bei x=0 schließen mit der x-Achse ein Dreieck ein.
Berechnen sie dessen Fläche.

f ( x ) = ( x + 2 )* e^{-x}
f´( x ) = 1 * e^{-x } + ( x + 2 ) * e^{-x} * (-1)
f´( x ) = 1 * e^{-x } + ( -x - 2 ) * e^{-x}
f´( x ) = e^{-x } * ( 1 - x - 2 )
f´( x ) = e^{-x } * ( - x - 1 )
Tangente :
f ( 0 ) = ( 0 + 2 ) * e^{-0} = 2
f´( 0 ) = e^{-0} * ( -0 - 1 ) = -1
t ( x ) = - x +2
Normale
m = -1 / (-1) = 1
n ( x ) = 1 * x - 1
n ( x ) = x +2
Nullstellen
- x +2  = 0
x = 2
x +2  = 0
x = -2
Fläche Dreieck
Grundseite * Höhe / 2
( 2  - (-2 )) * 2 / 2 = 4

Bestimme die Ableitungsfunktion folgender Funktionen:

1) 4 * cos ( 1/2 * x )
4 * -sin ( 1/2 * x ) * 1/2
2 * -sin ( 1/2 * x )

2) 3 / ( x² )
- ( 3 * 2 * x ) / x^4
- 6 / x^3

3) 1/2 * a * t²
( angenommen : nach t abgeleitet )
1/2 * 2 * a * t = a * t

4) ( 2 / x ) - 5^x
- 2 / x^2  - 5^x * ln (5 )

Comments

Danke ;) Aber warum berechnet man bei

2) 3 / ( x² ) 

- ( 3 * 2 * x ) / x⁴   ------> Warum durch x⁴????
- 6 / x³ 

---

Verkürzte Quotientenregel

Hier die gesamte Quotientenregel

( u / v  ) ´ = ( u´ * v - u * v´ ) / v^2
( 3 / x^2 ) ´ = ( 0 * x^2 - 3 * 2 * x ) /  ( x^2 )^2
( 3 / x^2 ) ´ = -6 / x^3