Berechne: tan 3a / tan a = k, dann sin 3a / sin a = x?

Question

Ich soll den Wert für x berechnen:

tan 3a / tan a = k → sin 3a / sin a = x

Hilfe!

Comments

Vielleicht schaust du mal in den Bronstein nach, dort sind viele der Umformungen  die man zur Auflösung braucht genannt.

Answer 1

Um diese Aufgabe lösen zu können, muss ich folgende Beziehungen voraussetzen:

tan α = sin α / cos α

sin 3α = 3sin α - 4sin³α

cos 3α = 4cos³α - 3cos α

sin² α = 1 -cos² α

Dann ist sin 3α / sin α = 3 - 4 sin² α

Du kannst nun eine Substitution machen y = sin² α

k = tan 3α / tan α = (sin 3α / cos 3α) / (sin α / cos α) = [  (3sin α - 4sin³α) / sin α ] / [ (4cos³α - 3cos α) / cos α ] =

(3 - 4sin²α) /  (4cos²α - 3) = (3 - 4sin²α) /  (4(1-sin² α ) - 3) = (3 - 4sin²α) /  (1-4sin² α)

Wenn du jetzt für sin² α y einsetzt, bekommst Du  k = (3-4y) / (1 -4y)

Nach y aufgelöst ergibt das y = (3 -k) / (4-4k)

und damit x = 3 - 4(3-k)/(4-4k) = (12 - 12k - 12 + 4k) /(4 - 4k) = (-8k) / (4 -4k)=-2k/(1-k)

x = -2k/(1-k)

 

LG

Capricorn

Comments

Ist tan3α=(3 tan α- tan³ α) / (1-3 tan² α)?

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Ja, das stimmt.

Meine obige Lösung kann man noch etwas schöner schreiben: x = 2k / (k - 1)