Gib eine 4x4 Matrix an, die genau den ersten mit dem zweiten Eintrag des Vektors vertauscht.

Question

(b) Berechnen Sie die folgenden Matrix-Vektor-Produkte:

(i) \( \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & -2 \\ 6 & 8 & -10 \\ 4 & 6 & -6\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 1\end{array}\right] \)
(ii) \( \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right] \)
(iii) \( \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{r}2 \\ 7 \\ -3\end{array}\right] \)
(iv) \( \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}u \\ v \\ w\end{array}\right] \)

(c) Geben Sie eine \( (4 \times 4) \)-Matrix an, die genau den ersten mit dem zweiten Eintrag des Vektors \( \left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right]^{T} \) vertauscht; d. h. für die gilt

\( \left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right] \)

Answer 1

Gemeint ist ähnliches wie hier:

$$ \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}  a \\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  b \\ a\end{pmatrix}$$

Das steht aber eigentlich auch im Text!