Gibt es keine Formel zum Bestimmen befreundeter Zahlen?

Question

Hatte vorhin einen alten Artikel über Magie der Zahlen gelesen, hier ein Auszug:

"Ob im Ägypten der Pharaonen, im chinesischen Kaiserreich, bei den alten Griechen oder Mayas Zahlen hatten in jeder Kultur mystische Bedeutungen, sie wurden Göttern zugeordnet, symbolisierten Naturgeschehen. Auch ihre Verknüpfung miteinander, beispielsweise in Drei- oder Vierecken(siehe Zeichnung), waren mehr als nur Spielereien. So galt ein „magisches Viereck“ an einem arabischen Haus als Schutz vor Zerstörung. Bei uns sind noch heute die „7“ und die „13“ Glücks- oder Unglückszahlen. Für Mathematiker indes zählt ganz andere „Magie“. Unterscheiden „normale“ Menschen bestenfalls gerade und ungerade, positive und negative Zahlen, so unterteilen die Experten ihr Arbeitsgebiet unter anderem in figurierte‚ kommensurable, irrationale, komplexe, natürliche, reelle, transzendente, unendliche, vollkommene und befreundete Zahlen. Wobei die beiden letzten Abteilungen besonders beliebt sind. Eine Zahl ist vollkommen, wenn die Summe ihrer Teiler die Zahl selbst ergibt. Beispiele: 6 ist teilbar durch 1, 2 und 3 macht zusammen 6. Oder: 28 ist teilbar durch 1, 2, 4, 7 und 14 ergibt als Summe 28. Weitere „Vollkommene“ sind z. B. 496, 8128, 33 350 336. Etwa 100 sind heute bekannt. Zwei Zahlen sind miteinander "befreundet", wenn die Teilersumme der einen die andere ergibt; und umgekehrt. Beispiel: 220 und 284. Die Zahl 220 hat die Teiler l, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110 - macht zusammen 284. Diese Zahl wiederum teilt sich durch 1, 2, 4, 71 und 142 - ergibt den Freund 220. Dieses Paar war schon den alten Griechen bekannt. Erst im 17. Jahrhundert wurde das zweite befreundete entdeckt: 17296 und 18416. Heute kennt man ca. 400 Paare. Das Magische an diesen beiden Zahlentypen: Es gibt keine Formel, mit der sie dingfest gemacht werden können. Jede einzelne muss überprüft werden, ob sie vollkommen oder mit einer anderen„befreundet“ ist. Und das machen heute die größten Computer der Welt."

Meine Fragen: 

1. Gibt es wirklich keine mathematische Vorschrift, um solche befreundeten Zahlen rechnerisch zu bestimmen?

2. Falls nein, warum nicht? Wurde es bewiesen, dass das nicht geht?

Answer 1

Ich denke schon, dass man das mit einer Formel machen kann, sie wird nur sehr, sehr zeitaufwändig berechenbar sein. Es geht ja auch darum, eine effiziente Formel zu finden.

Das ist genauso wie mit den Primzahlen. Es gibt Formeln für die n-te Primzahl, aber da braucht selbst ein Computer schon für die 100te Primzahl mehrere Sekunden um die Formel zu berechnen.

Answer 2

Soweit ich weiß gibt es keine Mathematische Formel, die die Teilersumme einer Zahl berechnet. Es gibt zwar eine Funktion, die die Teileranzahl einer Zahl berechnet aber die ist auch nicht gerade trivial.

Es könnte durchaus eine mathematische Vorschrift geben, die die Teilersumme angibt, aber zumindest wurde es meines Wissens noch nicht bewiesen, dass es so eine Funktion nicht geben kann.

Comments

kleine Ergänzung: Über eine Teileranzahl-Funktion habe ich mal etwas geschrieben:

http://www.verstehenblog.de/?p=1