Grenzwert der Folge mit a_n= (1-√((n-1)/n)) / (1-((n-1)/n)) bestimmen

Question

Ich habe hier einige Aufgaben die ich bearbeite, die meisten gingen auch glatt von der Hand aber jetzt hänge ich und verstehe sie auch mit dem Lösungsweg nicht wirklich.

Zur Sache:

Zeigen sie das der Grenzwert 1/2 ist von:

(1-√((n-1)/n)) / (1-((n-1)/n))

Ich würde da jetzt sagen dass die Zählerfolge gegen 1 und die Nennerfolge gegen 1 konvergiert, was insgesamt 1 macht.

Nun steht als Hinweis noch dass man für den Nenner folgendes schreiben soll:

(1-√((n-1)/n))*(1+√((n-1)/n)) (dritte binomische Formel).

Mit kürzen steht dann:

1/(1+√((n-1)/n)) und da ist der Grenzwert ja dann insgesamt 1/2.

Aber wie kann es sein dass ich zwei äquivalente Folgen habe mit zwei verschiedenen Grenzwerten?

Liegt es an der Uhrzeit? Ist beides richtig?

Vielen Danke schon mal für Eure Hilfe.

Answer 1

Es liegt an der Uhrzeit!

Wie kommst Du eigentlich zu der Auffassung, Zähler- bzw. Nennerfolge würden gegen 1 konvergieren? Es ist doch recht offensichtlich, dass dies ganz und gar nicht so ist! Hast Du Dich da vielleicht schlicht verrechnet oder irgendetwas übersehen?

Comments

Tatsächlich lag es an der Uhrzeit. Ich habe einfach den Schädel nicht mehr zusammen gehabt, eben hab ich es direkt gesehen. Ich danke Euch für die Mühe!

Einen schönen Abend noch.

Answer 2

Bei der Folge strebt Nenner und Zähler gegen Null. Ist unbestimmter Ausdruck, deswegen zuerst umformen. Nenner ist 3. bin Formel.

Dann bleibt 1 / (1 + √((n-1)/n))

Nenner strebt 2, deswegen Grenzwert 1/2