Geometriefrage: Rechteck im Koordinatensystem

Question

nehmen wir an, dass es möglich ist, ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b, sodass gilt a kleiner gleich b, derart in ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu legen, dass kein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten (x und y) sich in seinem Inneren oder auf seinem Rand befindet.

Ich habe herausgefunden, dass dann a<1 oder b<Wurzel(2) gelten muss. Ich kriege es aber nicht hin, dies stichhaltig zu begründen. Könnte mir jemand helfen?

 

Answer 1

Deine Argumentation wäre wohl (in Worten):

Fall1 a<1, b beliebig ≥ a

Sobald die kleinere Seite a kleiner als 1 ist, kann man ein beliebig langes (b) Rechteck Parallel zu den Koordinatenachsen irgendwo genügend nahe neben eine Gitterlinie legen. Deshalb gilt:  a<1, b beliebig ≥ a

Fall2 b < wurzel(2), a beliebig ≤ b < wurzel(2)

a könnte sogar grösser sein, wenn b klein genug ist. Dazu muss, kann das Rechteck schräg ins Koordinatensystem legen. Diagonalen im Koordinatengitter messen wurzel(2). Gerade nicht mehr erlaubt ist nun, dass die 4 Gitterpunkte die Mitte der Quadratseiten mit a=b= wurzel(2) bilden.  Deshalb gilt b < wurzel(2), a beliebig ≤ b < wurzel(2)

PS. Musst du dein Resultat irgendwie formal begründen?

Comments

danke für deine Antwort. Die Aufgabe war andersrum gemeint, ich sollte begründen, dass dann a<1 oder b<wurzel(2) gilt, wenn es möglich ist, dass Rechteck derart ins Koordinatensystem zu legen. Nicht wenn a<1 oder b<wurzel(2), dass es dann möglich ist das Rechteck ins Koordinatenystem zu legen.

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a≤b ist immer vorausgesetzt.

du solltest begründen,

wenn es möglich ist das Rechteck mit a≤b derart ins Koordinatensystem zu legen, dann gilt a<1 oder b<wurzel(2) gilt.

Mit einem logischen 'oder' ist auch beides gemeint. - sozusagen 3 Fälle.

Das ist logisch dasselbe wie,

wenn a≥1 und b≥wurzel(2), dann ist es nicht möglich, das ein Rechteck mit a≤b derart ins Koordinatensystem zu legen.

Was nur noch ein Fall ist.

Da genügt es mit dem Elementarquadrat; dessen Breite resp. Länge zu argumentieren.