Bestimmen sie die Lösungsmenge folgender Ungleichungen: |x-2| < 2+2x

Question

Habe mal um das wieder zu üben einige Ungleichungen versucht zu lösen, wäre nett wenn ihr mir sagen könnt was ich falsch gemacht habe oder welche Angabe der Lösungsmengen richtig/zu bevorzugen sind

1.  |x-2| < 2+2x

1. Fall : x≥2

x-2 < 2+2x

-4<x

2.Fall: x<2

x-2 < -2-2x

x < 0

L=(-4 ; 0)

L={x∈ℝ| -4 < x < 0}

2. 6x² -13x + 6 < 0

x₁=3/2     ;     x₂=2/3

L=(2/3 ; 3/2)

L={x∈ℝ| 2/3 < x < 3/2}

3. (5x+1)/(x-1)>2x+2

0>2x²-5x-3

x₁=3     ;     x₂= -1/2

L=(-1/2 ; 3)

L={x∈ℝ| -1/2 < x < 3}

4. |x-2| ≥ 10

1.Fall: x ≥ 2

x-2 ≥ 10

x ≥ 12

2.Fall x ≤ 2

x-2 ≥ -10

x ≥ -8

L=[-8 ; 12]

L={x∈ℝ|-8 ≤ x ≤ 12}

5. |x| ≥ |x+1|

√x² ≥ √((x+1)²)

x² ≥ (x+1)²

-1/2 ≥ x

L=(-∞ ; -1/2]

L={x∈ℝ|-∞ < x ≤ -1/2}

6. |x+2|-|x| > 1

√((x+2)²)-√x² > 1

(x+2)² > x²+2√x²+1

2x+3/2 > √x²

4x²+6x+9/4 > x²

x²+2x+3/4 > 0

x₁=-1/2   ,   x₂=-3/2

L=(-3/2  ;  -1/2)

L={x∈ℝ| -3/2 < x < -1/2}

Überall wo ich nicht die beiden Fälle hervorgehoben habe, habe ich von vorne rein nicht zwei verschiedene erkennen können und bin deshalb anders vorgegangen!
Wenn das noch verbesserungswürdig ist bitte einfach melden ;)

Comments

Benutze bei der Intervalldarstellung ein Komma

Also L=(-4,0) statt L=(-4 ; 0)

Anm: Gerechnet habe ich jetzt nichts. Kontrolliere vielleicht noch mit WolframAplha.

Answer 1

Ersetze
| x - 2 | < 2 + 2x
durch
- ( 2 + 2x ) < x - 2 < 2 + 2x

-2 - 2x < x - 2 < 2 + 2x  | + 2 + 2x
0 < 3x < 4 + 4x
x > 0
und
4 + 4x > 3x
x > -4

x > 0

Muß ich noch einmal kontrollieren

Comments

Doch. Ich meine es stimmt so.

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ah, vielen dank.

wenn ich das richtig sehen habe ich das auf der falschen seite gemacht, mit dem vorzeichenwechsel?

Ist es schon normal, so wie du es gemacht hast mit den zwei kleiner-symbolen das in eine zeile zu schreiben und dann auszurechnen? Scheit auf jeden fall schneller zu gehen :D

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wenn ich das richtig sehen habe ich das auf der  falschen seite
gemacht, mit dem vorzeichenwechsel?

Die ganzen Lösungswege von dir, Lu und dem Mathecoach
prüfe ich nicht mehr nach. Ich habe ja die einfache Lösung
vorgestellt.

Ist es schon normal, so wie du es gemacht hast mit den zwei
kleiner-symbolen das in eine zeile zu schreiben und dann
auszurechnen?

Kann sein. Muß nicht. Bestimmte Ungleichungen mit Betragsstrichen
lassen sich anders behandeln  als üblich.

Dadurch kann man jede Menge Arbeitszeit sparen und die
Berechnungen bleiben klarer.

Die Methode habe ich hier im Forum vor ca 2 Monaten zum
ersten Mal gesehen.

Ich meine generell das bei Gleichungen / Ungleichungen
zuviel gerechnet werden muß.   Die ganzen notwendigen
Fallunterscheidungen...

Zu dieser Aufgabe

| x - 2 | < 2 + 2x

Diese Ungleichung konnte in eine Ungleichungskette
umgewandelt werden.
Das Ergebnis ist
x > 0
und x > -4

In der Frage stand zudem die Aussage
2 + 2x muß größer 0 sein ( positiv ) da die linke Seite >= 0 ist.
Also muß auch gelten
2 + 2x > 0
2x > -2
x > -1

Alles zusammen x > 0

Eine weitere Möglichkeit zur Lösung wäre das Quadrieren
beider Seiten bei gleichzeitigem Ersetzen des < Zeichens
durch das Gleichheitszeichen
( Vorsicht : quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, Alle
Lösungen müssen durch die Probe untersucht werden ob
sie Scheinlösungen sind )

| x - 2 | = 2 + 2x

Quadrieren
( x- 2 )^2 = ( 2 + 2x )
x^2 -4x + 4 = 4 + 4x + 4x^2
3x^2 + 8x  = 0
x * ( 3x + 8 ) = 0
x = 0
und
3x + 8 = 0
3x = -8
x = -8/3 zusammen mit x > -1 der Eingangsaussage
scheidet diese Lösung aus.

Bei x = 0 ist Gleichheit der linken und rechten Seite gegeben.
Es bleibt noch die Frage wann ist die rechte Seite größer ?

Jezt könnte man probweise einen kleinen positiven
Betrag x= 0.00001 einsetzen
| 0.00001 - 2 | < 2 + 2*(0.00001)
1.99999 < 2.00002  | stimmt
Es gilt :  x > 0

Die ganzen Überlegungen sind immer noch besser
als die ganze Rumrechnerei.

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Diese Ungleichung konnte in eine Ungleichungskette 

umgewandelt werden. 
Das Ergebnis ist 
x > 0 
und x > -4 

wie erstelle ich solch eine Ungleichungskette und was muss ich dabei beachten? 

In der Frage stand zudem die Aussage 
2 + 2x muß größer 0 sein ( positiv ) da die linke Seite >= 0 ist. 
Also muß auch gelten 
2 + 2x > 0 
2x > -2 
x > -1

Müsste es dann nicht heißen:

2 + 2x ≥ 0 
2x ≥ -2 
x ≥ -1

??

ich habe bei dem lösen der aufgaben auch meist danach geguckt wann der Term, der zwischen den Betragsstrichen steht, null wird und da dann abgegrenzt sag ich mal, ist das eine richtige vorgehensweise oder was kann ich am besten machen um die "richtigen" bzw. wichtigen fälle zu unterscheiden? :O 

mfg, Subis ;)

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wie erstelle ich solch eine Ungleichungskette und was muss ich dabei beachten?

| y  | < 4  Was kann das für y bedeuten ?

| 3.99 | < 4
| -3.99 | < 4
y liegt zwischen -3.99 bis 3.99
-4 < y < +4
Dies wäre eine Ungleichungskette.
Allgemein
| term 1 | < term 2
- term 2 < term 1 < + term 2

Der kleinste Wert  den die linke Seite einnehmen ist
| x - 2 |  = 0
Für die rechte Seite gilt
| x - 2 | < 2 + 2x
0 < 2 + 2x also
2 + 2x > 0

Wenn du Gleichungen mit Betragsstrichen oder Ungleichungen
lösen willst ist es vielleicht für dich besser nach der Methode
der Fallunterscheidungen vorzugehen.

Ich werde diese Rechnung gleich nocheinmal handschriftlich
hier einstellen. Ansonsten findest hier unterhalb schon jede
Menge Fragen mit Lösungen.

mfg Georg

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Aufgrund deiner ersten Lösung habe ich angenommen
es handelt sich um etwas " größeres " und ein anderes
Verfahren vorgestellt.

Ich habe die Lösung jetzt mit Hilfe der Fallunterscheidung
berechnet


und stelle fest das diese Lösung auch ohne viel Arbeit schnell
gemacht werden konnte.

Wenn du willst kannst du einmal nachsehen warum du soviel
gerechnet hast.

mfg Georg

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ich verstehe nicht wieso du gerade diese Fälle gewählt hast, ich würde da x≥2 und x≤2 wählen, da hier der term der zwischen den strichen steht null wird. alles andere ergibt für mich keinen sinn, so wie du hier 0 genommen hast, ist mir das unersichtlich wieso du diesen wert gewählt hast.

dennoch danke für deine antwort, die rechenwege habe ich ich nachvollziehen können. Nur ich weiß nicht wie du halt auf den ersten schritt kommst.

mfg, Subis

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Ich weiß im Moment nicht was dir Schwierigkeiten bereitet.
| x - 2 | < 2 + 2x

Es gilt das Betragszeichen zu entfernen und somit
2 Fälle getrennt zu untersuchen.

Falls x -2 größer / gleich 0 ist ( also 0 oder postiv )
kann das Betragszeichen entfallen.
Dies ist der Fall
x -2 ≥ 0
x ≥ 2
Für x ≥ 2 gilt
x - 2  < 2 + 2x

Falls x -2 kleiner / gleich 0 ist ( also 0 oder negativ )
muß der negative Wert in den Betragszeichen mal
( -1 ) genommen werden. Das entspricht der Wirkung
der Betragszeichen.
Dies ist der Fall
x -2 ≤ 0
x ≤ 2
Für x ≤ 2 gilt
( x - 2 ) * ( -1 ) < 2 + 2x

---

ich verstehe nicht ganz, wieso man bei 0 die Fallunterscheidungen macht anstatt bei -2 oder 2, weil da ja der Vorzeichenwechsel nicht mehr zur Geltung kommt, sozusagen. bzw. der term zwischen den betragsstrichen wird da 0.

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So Subis, mein letzter Erklärungsversuch.
Wir drehen uns im Kreise.

Ein anderes Beispiel

1 / Term < 5

Term ist irgend ein Ausdruck der z.Beispiel eine
Unbekannte enthält.

Ist der Term postiv ( Term > 0 ) kann ich die Ungleichung
mit Term multiplizieren
1 / Term < 5  | * term
1 < 5 * Term

Ist der Term negativ ( Term < 0 ) kann ich die Ungleichung
mit Term multiplizieren aber das Ungleichheitszeichen wird
umgedreht
1 / Term < 5  | * term
1 > 5 * Term

Entscheidend ist ob der Term größer oder kleiner 0 ist.

So mein letzter Kommentar.

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sorry, dass ich es nicht schnalle :D
also, mein letzter versuch hier nun :P

also wenn der Term, der zwischen den Betragsstrichen steht, größer-gleich null ist, kann ich die Betragsstriche einfach entfallen lassen und wenn er kleiner-gleich null ist, kann ich die Betragsstriche wegstreichen und drehe einfach das Zeichen um, richtig?

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*multipliziere mit dem Term auf beiden seiten wenn der Term kleiner gleich null ist und drehe das ungleichheitszeichen um

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also wenn der Term, der zwischen den Betragsstrichen steht,
größer-gleich null ist, kann ich die Betragsstriche einfach
entfallen lassen

Richtig weil der term ja größer/gleich 0 ist. Das Einbinden oder
Entfernen in Betragszeichen hat dann keinen Effekt.

und wenn er kleiner-gleich null ist, kann ich die Betragsstriche wegstreichen
und drehe einfach das Zeichen um, richtig? 

Die sichere Variante wäre
| -term | = term
( -term ) * (-1 ) = term
also
| -term | durch ( -term ) * ( -1 )  ersetzen

oder
Betragsstriche wegfallen lassen und das Ungleichheitszeichen
umdrehen. Dies ist nicht ganz so sicher falls 2 oder mehrere Betrags-
zeichen in einer Ungleichung vorkommen.

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vielen dank georgborn!

habe das jetzt lieber erstmal nen tag lang sacken lassen damit ich mir das nicht im "Stress" anlernen muss :D

jetzt habe ich es mir halt in ruhe nochmal angeguckt und siehe da, es geht doch  :P

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Auch beim Mathelernen gilt : nicht mit dem Kopf
durch die Wand wollen. Kommt man in den
" Verzweifelt " - Bereich hinein, dann lieber
für einige Zeit  das Problem beiseite legen.

mfg Georg

Answer 2

Vergleich mal mit meinen Lösungen. Ein paar Lösungen scheinen falsch zu sein.

|x - 2| < 2 + 2·x

x > 0

6·x^2 - 13·x + 6 < 0

2/3 < x < 3/2

(5·x + 1)/(x - 1) > 2·x + 2

x < - 1/2 ∨ 1 < x < 3

|x - 2| ≥ 10

x ≤ -8 ∨ x ≥ 12

|x| ≥ |x + 1|

x ≤ - 1/2

|x + 2| - |x| > 1

x > - 1/2