Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit. Falls Folge konvergiert, Grenzwert angeben.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folgen $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ auf Monotonie und Beschränktheit. Falls die Folge konvergiert, dann geben Sie ihren Grenzwert an.

(a) $a_{n}=\frac{n^{2}+3}{(n+1)^{2}}$

(b) $a_{n}=1+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$

(Hinweis zu (a): Es gibt ein $n_{0} \in \mathbb{N}$, ab dem sich das Monotonieverhalten der Folge ändert.)

Answer 1

Zu (a)

Betrachte die Folge $a_n$ als eine Funktion der reellen Variablen $x$ und bilde die erste Ableitung. Dort wo die erste Ableitung $\ge 0$ wird ist die Funktion monoton steigend.

Die Beschränktheit folgt aus $\frac{n^2+3}{(n+1)^2}\le \frac{n^2+3}{n^2}=1+\frac{3}{n^2}\le 4$

Damit ist die Folge konvergent und konvergiert gegen 1, wie man durch kürzen durch $n^2$ leicht sieht.

Zu (b)

Wegen des Vorzeichenwechsel ist die Folge nicht monoton. Da der zweite Summand aber eine Nullfolge ist, konvergiert die Folge gegen $1$