Question

Volumenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung am Beispiel eines selbst gestaltenen Trinkgefäßes.

Die Funktionen lauten:

f(x) = (x-6)^0,3

g(x)=0,2

h(x)= -100x²+3

Answer 1

Ich berechne zunächst die Schnittpunkte der Funktionen:

f(x) = g(x)
(x - 6)^0.3 = 0.2
x = 6 + 0.2^{1/0.3} = 6.004678428

g(x) = h(x)
0.2 = -100x^2 + 3
x = √((3 - 0.2) / 100) = 0.1673320053

Jetzt berechnest Du die Volumenintegrale über die einzelnen Abschnitte.

Dazu bilde ich dir noch die Stammfunktionen zur Kontrolle.

F(x) = ∫ pi * f(x)^2 dx = 5/8·pi·(x - 6)^{8/5}
G(x) = ∫ pi * g(x)^2 dx = 1/25·pi·x
H(x) = ∫ pi * h(x)^2 dx =pi·(2000·x^5 - 200·x^3 + 9)

Comments

Hier noch eine Skizze für dich:

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Vielen vielen Dank

ich hätte eine Frage ich muss nähmlich eine facharbeit bis dienstag erledgen komme aber leider nicht weiter

haben sie vielleicht eine mail unter der man sie erreichen kann ?

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ja. Aber bei Fragen kannst Du besser hier Fragen. Denn dann können alle Antworten.

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ich habe ihnen eine mail geschickt

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also muss ich bei der funktion f(x) den integral (8,13.5) berechnen

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Warum von 8? Eigentlich von 6.004678428 bzw. von 6

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ich komme nicht weiter :(

könnte mir eventuell jemand helfen ?

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Wo kommst du den jetzt nicht weiter?

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ich komme gar nicht weiter ... :(

ich kann das bei geogebra nicht

also ich bekomen es nicht hin das gefäß zu machen

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Könnten Sie das nochmal bis 14cm darstellen ich bekomme es nicht hin..

ich hätte noch eine gefäß :

f(x) = 0.1x+2.5 im Intervall von (0;15)

g(x)= wurzel aus( x-1) im Intervall von (1;15)

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Dann nimm für die Zeichnung Mathegrafix. Das habe ich oben auch benutzt.

Das zweite Gefäß würde mit Mathegrafix wie folgt aussehen:

Hier habe ich mal beide Funktionen auch nach unten gespiegelt, sodass man nicht nur das halbe Gefäß sieht.

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Könnten Sie das gleich auch für mein erstes Gefäß darstellen ?

bis 14 cm?

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Das sieht dann so aus:

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wenn ich die funktion f(x) einmal um die x-achse drehe da entsteht ein rotationskörper...

wenn ich die funktion f(x) *pi nehme, ist das dann der inhalt des rotationskörpers ?

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Nein. Der Inhalt des Ratationskörpers berechnet sich mit dem Integral

∫ pi * f(x)^2 dx

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ja f(x)² ist doch halt mit der stammfunktion oder nicht  ?? also  wäre meine formel für den körper das was ich ihnen gerstern geschickt hatte ?

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Ich habe die Zu berechnende Funktion ja auch oben hingeschrieben. Das ist auch das was du mir nach Korrektur am Ende geschrieben hast. Aber da brauchst du nicht immer nachfragen, wenn du auf die gleiche Lösung kommst, die ich oben bereits angegeben habe. Nur wenn du auf etwas anderes kommen solltest, muesste man schauen wer sich verrechnet hat.

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ja ich wollte nur sicher sein

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wie ist das prinzip der volumenberechnung von rotationskörpern mit integralrechnungen ?

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wozu muss ich die funktionen

G(x) = ∫ pi * g(x)2 dx = 1/25·pi·x
H(x) = ∫ pi * h(x)2 dx =pi·(2000·x5 - 200·x3 + 9)

berechnen ?

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Die musst du nur berechnen, wenn nach dem Material für den Stiel und den Fuß gefragt ist. Die hatte ich nur hingeschrieben weil du keine Aufgaben dazu geschrieben hast.

Je präziser die Aufgaben gestellt werden, desto präziser können auch die Antworten sein.

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nehmen wir an in das trinkgefäs muss 1l sekt hinein

wie berechne ich das ?

ich ahbe ja mit der stammfunktion das volumen ausgerechnet ( bin aber mit der lösung nicht sicher )

was mache ich danach ?

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Sollen in das Sektglas 1 l = 1000 cm³ ?

Dann lautet der Ansatz

F(x) - F(6) = 1000

5/8·pi·(x - 6)^{8/5 -} 5/8·pi·(6 - 6)^8/5 = 1000
Das löst man nach x auf
x = 55.19

So hoch ist das Glas aber nicht. Also kann man das vergessen.

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sorry nicht 1l sondern 0.1l

wo wäre die Makierung in der zeichnung wenn da 0.1l reinpassen sollen

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5/8·pi·(x - 6)^{8/5} - 5/8·pi·(6 - 6)^{8/5} = 100
x = 17.66423655

Geht das hier eventuell um das zweite Gefäß?

Also wenn du deine Fragen immer so unpräzise stellst habe ich keine Lust zu antworten.

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dann passen das auch keine .1l rein oder?

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Ne. Das Sektglas ging doch nur bis 14 cm und nicht bis 17 oderß

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wenn die frage lauten würde

wie viel sekt passen rein ?

wie wäre dann die rechnung ?

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F(14) - F(6) = 54.70

Es gehen ca. 54.7 ml hinein.

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aber vom oberen rand sollen 1.5 cm freigelassen werden

muss ich das ergbnis nochmal -1.5 cm nehmen ?

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Wenn man fragt wievil max. reinpasst ist es bis zum überlaufen also Oberkante. Ansonsten musst du fragen, wieviel Sekt reinpasst, wenn das Glas bis 1.5 cm unter den Rand gefüllt wird.

Dann rechnet man

F(13.5) - F(6)

Das mache ich jetzt aber nicht mehr. Ich habe keine Lust immer wieder das gleiche in den Taschenrechner einzugeben. Das solltest du auch selber können. Formel hast du ja alles.

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:) dankeschön ..

nein soviel müssen sie auch nicht machen

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als ergebnis habe ich 39.314.. ml raus

könnten sie , wenn sie zeit haben , es kontolieren ?

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Ich hätte 49.33 ml heraus.

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hmm :/

da habe ich wohl was falsch gerechnet aber ich weiß nicht wo

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Ich auch nicht. Du hast ja keine Rechnung hier rein geschrieben.

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mein rechnung :

 

( 5/8*pi*(13.5-6)^8/5- ( 5/8*pi*(6-6) ^8/5

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Rechnung ist richtig. Ergebnis ist falsch.

5/8·pi·(13.5 - 6)^{8/5} - 5/8·pi·(6 - 6)^{8/5}

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5/8·pi·(14 - 6)8/5 - 5/8·pi·(6 - 6)8/5 kommt bei mir 65.88 cm³ für das ganze volumen raus ?

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Können Sie die funktionen

f(x)= 0,1x+2,5 im Intervall [0;15]

g(x)= √x-1 im Intervall [1;15]

Die Hälfte vom Glas darstellen?

Ich brächte es einmal ohne unterhalb der x-achse.

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Wir helfen hier gerne. Ich habe dir gesagt, dass die Graphiken mit Mathegrafix gemacht worden sind. Damit geht das recht einfach. Du solltest aber wirklich einen Willen zeigen auch selber etwas zu leisten.

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Haben Sie vielleicht noch andere Ideen was  man berechnen könnte ?

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Ja. Z.B. das Gewicht eines Glases, wenn die Dichte des Glases bekannt ist.

Oder den Schwerpunkt des Glases zur Beurteilung der Lage in der Hand.

Das wären jetzt zwei Dinge die direkt mit der Integralrechnung zu tun haben.

Schüler bekommen solche Präsentationsaufgaben ja auf dem Grund auf, damit sie zeigen können in wie weit sie selber in der Lage sind sich selber etwas zu einem bestimmten Bereich zu Bearbeiten. Letztendlich ist das auch eine Abfrage, wie gut Schüler mit Medien wie dem Internet umgehen können oder mit Fachbüchern. Wie man das Gewicht von Körpern ermittelt zu denen das Volumen und die Dichte bekannt ist findet man bei Wikipedia genauso wie die Lösung wie man Schwerpunkte berechnet. Und eigentlich ist das Deine Aufgabe. Also der Lehrer will nicht wissen das ich es bearbeiten kann. Deswegen geben wir hier gerne Ratschläge und Tipps wenn jemand nicht weiter kommt. Aber Eigeninitiative ist eigentlich immer Voraussetzung. Aber ich wiederhole mich.