Berechne Grundseite, Höhe und Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks (Quadratische Gleichungen)

Question

Aufgabe:

In einem Dreieck ist die Höhe 2 cm kürzer als die Grundseite. Verdoppelt man die Länge der Grundseite und verkürzt man die Höhe um 2 cm, so hat das neue Dreieck einen um 36 cm² größeren Flächeninhalt als das ursprüngliche Dreieck.

Berechne Grundseite, Höhe und Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks.

Answer 1

in einem Dreieck ist die Höhe 2cm kürzer als die Grundseite:
h + 2 = g | also g - 2 = h
Flächeninhalt:
g * h / 2 = g * (g - 2) / 2

Verdoppelt man die Länge der Grundseite (g * 2) und verkürzt man die Höhe um 2 cm (h = g - 4), so hat das neue Dreieck einen um 36cm² größeren Flächeninhalt als das ursprüngliche Dreieck, also
(g * 2) * (g - 4) / 2 = g * (g - 2) / 2 + 36

Jetzt nur noch ausmultiplizieren und zusammenfassen:
g² - 4g = g²/2 - g + 36 | -g²/2 + g - 36
g²/2 - 3g - 36 = 0 | * 2
g² - 6g - 72 = 0 | pq-Formel
g_1,2 = 3 ± √(9+72) = 3 ± 9

Die negative Lösung macht keinen Sinn, also ist g = 12 und h = 10

Probe:
Ursprüngliches Dreieck 12 * 10 / 2 = 60
Neues Dreieck 24 * 8 / 2 = 96
96cm² - 60cm² = 36cm²

Also:
Ursprüngliches Dreieck:
Grundseite = 12cm
Höhe = 10cm
Flächeninhalt = 60cm²

Besten Gruß