Injektiv: Du musst prüfen ob aus f(a)=f(b) auch a=b folgt.
z.B. bei f1: 1/(a-1) = 1(b-1) mit (a-1)(b-1) multiplizieren gibt
b-1 = a-1
also b=a
Also ist f1 injektiv.
surjektiv heißt jedes Element von R kommt als Funktionswert vor.
Das ist hier nicht der Fall, denn 1/(x-1) ergibt niemals den Wert 0.
bei f2: a^2 = b^2
hier folgt nicht a=b, denn es könnte auch a=-b sein.
Auich ist f2 nicht surjektiv, denn negative Zahlen können nicht
als Funktionswerte entstehen.
f3: Jedes Paar (m;n) aus ZxN gibt bei Division eine rationale
Zahl, aber verschiedene Paare z.B. (8;2) und (4;1) ergeben die
gleiche rationale Zahl nämlich 8/2=4/1=4
Also nicht injektiv.
surjektiv ja, denn jede rationale Zahl läßt sich als
Bruch m/n darstellen.
f4: (y1;x1+y1) = (y2; x2+y2)
ist äquivalent zu y1=y2 und x1+y1 = x2+y2
1. Gleichung in zweite eingesetzt gibt
x1+y2=x2+y2 jetzt auf beiden Seiten -y2
Fertig, also f4 injektiv.
surjektiv: Wenn ich irgendein Paar (a;b) aus R^2 habe, muss ich schauen, ob es ein
Paar (x;y) gibt, so dass f4(x;y)=(a;b) ist.
Das findet man so: Es muss y=a sein, damit bei f(x;y) in der ersten Komponente a entsteht.
nun muss aber noch b=x+y sein, wegen y=a heißt dies b=x+a bzw x=b-a.
Dann hat man es f(b-a;a)=(a;b). Also f auch surjektiv und damit bijektiv.
