Nullstelle von f(x) = x^4 - 6^3 + 13x^2 - 12x + 4

Question

x^4 - 6^3 + 13x^2 - 12x +4 = 0

Ich brauche diese Berechnung um eine maximalen Definitionsbereich zu setzen. Ich habe den Bruch

1/ (x^4 - 6^3 + 13 x^2-12x + 4 )

Ich weiß, dass wenn ich nicht 1 / 0 rechnen kann deshalb suche ich nun x für die gleichung unter dem bruchstrich

in der diese Gleichung dann 0 ergibt, sodass ich diese Zahl dann aus dem Definitonsbereich rausbringen kann.

Comments

Wie heißt dein Term ?
x⁴ - 6³ + 13x² - 12x +4

besser passen würde
x⁴ - 6*x³ + 13x² - 12x +4 
oder
1/ x⁴ - 6*x³ + 13x² - 12x +4 

Das sollten wir erst einmal klären.

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Bitte schreibe die Aufgabe richtig ab!

Answer 1

x^4 - 6·x^3 + 13·x^2 - 12·x + 4 = (x - 1)^2·(x - 2)^2

Wir haben also Nullstellen bei 1 und 2. Beides mal sind das Doppelte Nullstellen. Du musst die 1 und die 2 also auf dem Definitionsbereich ausnehmen.

D = R \ {1; 2}

Comments

Gibt es eigentlich einen Trick, am gegebenen Term zu erkennen, ob er in Linearfaktoren zerlegbar ist?

Bei den binomischen Formeln kann man das absolute Glied testen, jedoch wie kommt man auf -1 und -2 bei o. g. Gleichung?

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Meine Erfahrung : die erste Lösung wird  durch probieren oder raten
gefunden. Dann erfolgen Polynomdivisonen.
Ansonsten die Funktion mit einem Funktionsplotter zeichnen
lassen.
Die Nullstellen ablesen. Sind es keine ganzen Zahlen. Dann
Newton-Verfahren.

@Mathecoach
Wieso den Def-Bereich einschränken ?

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Auch hier kann man die sechs ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes testweise einsetzen. Bekommt man so vier verschiedene Nullstellen, ist man fertig, da es nicht mehr geben kann. Bekommt man weniger als vier, kann man noch auf Vielfachheit überprüfen, indem man die schon bekannten Nullstellen noch in die 1., 2., usw. Ableitung einsetzt.

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@georgborn

Es ging dem Fragesteller wohl eigentlich nicht um die Funktion

y = x⁴ - 6·x³ + 13·x² - 12·x + 4

sondern eher um eine gebrochen Rationale Funktion

y = 1 / (x⁴ - 6·x³ + 13·x² - 12·x + 4)

Hier wollte er den Definitionsbereich einschränken und dafür die Nullstellen des Nenners bestimmen.

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@mathecoach.
Meinen Glückwunsch zu deiner Intuition.

Bei mir standen zur Auswahl
x⁴ - 6³ + 13x² - 12x +4
x⁴ - 6*x³ + 13x² - 12x +4 
oder
1/ x⁴ - 6*x³ + 13x² - 12x +4 

Auf deine Variante bin ich nicht gekommen.

Answer 2

Hallo
Forme die Gleichung um. Manchmal führt das direkt zur Lösung.
x^4 -6 x^3 +13 x^2 -12 x +4 = 0 | * 4^4 = 256
(4x)^4 -24 (4x)^3 +208 (4x)^2 -768 (4x) +1024 = 0
(4x -6)^4 +(4*6 -24) (4x -6)^3 +(-6*36 +208) (4x -6)^2 +(+4*216 -12*8 -768) (4x -6) -1296 +8*36 +1024 = 0
(4x -6)^4 -8 (4x -6)^2 +16 = 0
((4x -6)^2 -4)^2 = 0
( (4x -6 -2)(4x -6 +2) )^2 = 0
( (4x -8)(4x -4) )^2 = 0
(4x -8)^2 (4x -4)^2 = 0
(x -2)^2 (x -1)^2 = 0
x1,2 = +2
x3,4 = +1