1. Ableitung der Funktion f(x) = 3^x - 5

Question

Heyho

Ich habe folgende Aufgabe vorgegeben:

Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f(x) = 3^x - 5

Wir haben die Ableitungsregeln noch nicht behandelt und darf diese darum nicht verwenden. Wir löse ich also die Aufgabe mithilfe des Differentialquotienten?

Lösungsansatz:

( f(x-h) - f(x) )/ h

( 3^{x+h} - 5 - 3^x + 5 ) / h

( 3^x * 3^h - 3^x ) / h

Wobei natürlich am Ende h gegen 0 geht ;)

Answer 1

Hi,

sieht soweit eigentlich gut aus.

lim (3^x*3^h-3^x)/h = 3^x * lim (3^h-1)/h = 3^x * ln(3)

Dabei muss man letzteres aber wissen bzw. nachschlagen. Alternativ würde mir da als erstes nur die Regel von l'Hospital einfallen um den Grenzwert zu zeigen. Wenn ihr aber die Ableitung nicht verwenden dürft, dann auch dies nicht?

Grüße

Comments

Ich verstehe leider die letzteren Schritte nicht ganz. Darf ich 3^x aus dem Limes rausnehmen, ohne das sich etwas ändert? Und wie heisst die Regel die bei der letzten Umformung verwendet wurde bzw. gibt es da eine Erklärung dazu?

Vielen Dank für deine Hilfe :)

Gruss

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Yup, da 3^x unabhängig von h ist, kannst Du das einfach rausziehen.

Letztere Umformung kannst Du wie gesagt nachschlagen/wissen oder mit l'Hospital beikommen. Ist Dir letzteres nicht bekannt, vermute ich das ersteres gilt?! ;)

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Also wenn ich l'Hopital anwede, komme ich leider nicht weiter:

3^x * lim h -> 0 (3^h - 1) / h

Da der Limes 0 / 0 ergibt darf ich l'Hopital anweden:

lim h -> 0 (h * 3^{h-1}) / 1

Und das würde dann doch

0 / 0 ergeben

Habe ich etwas falsch verstanden? :)

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Die Ableitung ist falsch ;).

Du hast ja nicht f(x) = x^n, sondern f(x) = n^x.

Um dies abzuleiten brauchst Du die e-Funktion.

3^h - 1 = e^{h*ln 3} - 1

Und die Ableitung nach h ist davon:

ln(3) * e^{h*ln 3} = ln(3) * 1 (für h gegen 0)

Ok? ;)

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Die Ableitung von 3^x  mit der Ableitung von  3^h  herleiten  -  das sieht man auch nicht alle Tage

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Das hatte ich ja zu Beginn erwähnt, dass ich das für unsinnig halte, aber nur über l'Hospital eine Herangehensweise erkenne :P. Ansonsten habe ich die Fragen nur weiterführend beantwortet.

Würdest Du mit einer Alternative aufwarten können?

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Nicht streng mathematisch, aber eine gute Plausibilitätsbetrachtung :

Der gesuchte Grenzwert für  h → 0  von  (3^h - 1) / h  sei  a.  Dann gilt für kleine h :  3^h  ≈  ah + 1  und  somit  h·ln 3  ≈  ln (ah + 1)  =  ah - (ah)²/2 + (ah)³/3 -+ ... . Division durch h und anschließendes  h → 0  ergibt  ln 3  =  a.

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Ah sehr gut. Ich danke Dir dafür! :)

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Folgende Überlegung kommt sogar ohne die Potenzreihenentwicklung des Logarithmus aus :

Aus   3^h  ≈  ah + 1  folgt  3  ≈  ( 1 + ah )^1/h   und mit der Substitution  z = 1 / (ah)  weiter   3  ≈  ( ( 1 + 1/z )^z )^a  .  Für  h→0 , d.h. z→∞  erhält man  3 = e^a  und durch Logarithmieren schließlich  ln 3  =  a .