Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent dazu, dass die Folge an gegen a konvergiert?

Question

Beweis oder Gegenbeispiel wie kommt man damit zurecht?

I) Für alle ε>0 gibt es ein k aus ℕ und ein n₀ aus ℕ, so dass für alle n≥ n₀+k gilt |a_n-a|< εk .

Ii) zu jedem ε>0 gibt es ein n₀ aus ℕ, so dass für alle n≥n₀ gilt |a_n-a|≤ 2ε.

EDIT (Lu) Vollständige Version gemäss Kommentar:

Welche der folgenden Aussagen sind äquvalent dazu, dass die Folge a_n gegen a konvergiert? ( beweis oder Gegnbeispiel)

1) zu jedem ε> 0 gibt es ein n₀ ∈ ℕ, so dass für alle n> n₀ gilt |a_n - a) < ε

2) Es gibt ein n₀ ∈ ℕ, so dass für alle ε> 0 und für alle n> n₀ gilt |a_n -a| < ε

3) Für alle ε>0 gibt es ein k aus ℕ und ein n₀ aus ℕ, so dass für alle n≥ n₀+k gilt |a_n-a|< ε*k .

4) zu jedem ε>0 gibt es ein n₀ aus ℕ, so dass für alle n≥n₀ gilt |a_n-a|≤ 2ε.

Comments

Möchtest du definieren, dass (an) _n∈ℕ gegen a konvergiert?

Das sollte auf den ersten Blick mit beiden Definitionen klappen.

EDIT. Vgl. Version unter EDIT.

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Ich suche für die beiden aussagen i) und ii) ein gegenbeispiel oder ein beweis... Leider ohne Erfolg.

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mE ist weder i) noch ii) einzeln eine Behauptung. Definitionen kann man nicht beweisen.

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Kennst du vielleicht dazu ein beispiel oder gegenbeispiel... Ich weiss auch nicht was ich da genau machen soll :((

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Ich kann so auch nichts Vernünftiges machen. (vgl. oben).

Da müsste ich schon die ganze Fragestellung exakt sehen.

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Welche der folgenden Aussagen sind äquvalent dazu, dass die Folge a_n gegen a konvergiert? ( beweis oder Gegnbeispiel)

1) zu jedem ε> 0 gibt es ein n₀ ∈ ℕ, so dass für alle n> n₀ gilt |a_n - a) < ε

2) Es gibt ein n₀ ∈ ℕ, so dass für alle ε> 0 und für alle n> n₀ gilt |a_n -a| < ε

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Und das was oben steht ist 3 /4

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Wie meinst du jetzt 3/4 ?

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3) Für alle ε>0 gibt es ein k aus ℕ und ein n₀ aus ℕ, so dass für alle n≥ n₀+k gilt |a_n-a|< εk .

4) zu jedem ε>0 gibt es ein n₀ aus ℕ, so dass für alle n≥n₀ gilt |a_n-a|≤ 2ε.

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3) Für alle ε>0 gibt es ein k aus ℕ und ein n₀ aus ℕ, so dass für alle n≥ n₀+k gilt |a_n-a|< εk .

Vielleicht so:

3) Für alle ε_k>0 gibt es ein k aus ℕ und ein n₀ aus ℕ, so dass für alle n≥ n₀+k gilt |a_n-a|< ε_k ?

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Nein. Das ist schon richtig wie ich es getippt habe.....

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εk.        

Macht einfach wenig Sinn. Meinst du Epsilon mal k? 

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Ja epsilon mal k

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Hat keine eine idee? Oder ein tipp?

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Am besten würdest du die Äquivalenzen direkt mit der formalen Definition in eurem Skript beweisen.

Ich hoffe es ist dir gelungen zu zeigen, dass 1) äquivalent zu eurer Definition ist.

Nun ist 4) äquivalent zu 1)

1) zu jedem ε> 0 gibt es ein n₀ ∈ ℕ, so dass für alle n> n₀ gilt |a_n - a | < ε

und

4) zu jedem ε>0 gibt es ein n₀ aus ℕ, so dass für alle n≥n₀ gilt |a_n-a|≤ 2ε.

Annahme (cn) konvergiert gemäss 1) gegen b, so wähle in 4) das no₄ = no +1 und 

ε < 2ε 

Daher konvergiert (cn) auch gemäss 4) gegen c.

Umgekehrt:

Annahme (bn) konvergiert gemäss 4) gegen b.

Sei nun  ε_a > 0 gegeben. Wähle das ε in c) als ε_c : = 1/3 * ε_a so gilt 

 2 ε_{c <} ε_a = 3ε_c  und 

(bn) konvergiert auch gemäss 1).