du musst hier ein wenig mit den einzelnen Definitionen arbeiten:
Zu allerst bedeutet
$$ \lim \limits_{k \to \infty} \| f_k - f \|_{\infty} = 0 $$
mit der Definitions der Supremumsnorm, dass
$$ \lim \limits_{k \to \infty} \sup \limits_{x \in D} | f_k(x) - f(x) | = 0 \quad (*)$$
Da alle Funktionen beschränkt sind, können wir hier für das Supremum schreiben:
$$ \delta_k := \sup \limits_{x \in D} | f_k(x) - f(x) | < \infty \quad \forall k \in \mathbb{N}$$
Insbesondere bedeutet dies für alle \( k \in \mathbb{N} \)
$$ |f_k(x) - f(x) | \leq \delta_k \quad \forall x \in D $$
Schreiben wir nun \( (*) \) um:
$$\lim \limits_{k \to \infty} \delta_k = 0 $$
Das bedeutet ja grade, dass es \( \forall \varepsilon > 0 \) ein \(k_0 \in \mathbb{N} \) gibt, so dass
$$ \delta_k < \varepsilon \quad \forall k \geq k_0 $$
Mit der Definition von \( \delta_k \) heißt das
$$ | f_k(x) - f(x) | < \varepsilon \quad \forall k \geq k_0 \quad \forall x \in D $$
Was dir wiederum bekannt vorkommen müsste.
Gruß
