Umformen um pq-Formel anzuwenden: x^4-13x^2+36 = 0

Question

Ausgangsformel:

x^4-13x^2+36 = 0

x^2 ausklammern dann bleibt in der klammer:

x^2-13+(36/x^2)

Ich kann die (36/x^2) nicht als q benutzen oder?

Was tun?

Answer 1

x⁴-13x²+36 = 0

Der Trick ist hier, dass man eine neue Variable u einführt. u=x^2

Nun kann man erst mal die Gleichung

u^2 - 13 u + 36 = 0 mit der pg-Formel nach u auflösen.

Und dann jedes der beiden u = x^2 setzen und jeweils zu den u's gehörige x-Werte berechnen.

Versuch das mal so.

Comments

VIELEN dank! Das klappt soweit, allerdings sind die u's bei mir -4 u. -9.

-4=x² .. hier miss ich die wurzel ziehen, das geht aus einer - zahl aber nicht.

online habe ich gesehen, dass die lösungen 2, -2, 3 & -3 sind.

keine dieser lösungen zum quadrat würden -4 oder -9 ergeben, nur 4 & 9

woran liegt das?

 

EDIT:

würde man bei

x^8-13x^4+36 dann u^4-13u^2+36 nehmen? Oder wie ? :)

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Man würde auch bei

x⁸-13x⁴+36 =0

u^2 - 13 u + 36 = 0 nehmen mit x^4 = u.

u_1,2 = 1/2 (13 ± √ (169 -144)) = 1/2 (13 ± 5)

u₁ = 9 → x1 = √3 , x2 = -√3

u₂ = 4 ---------> x3 = √2 , x4 = -√2

Also auch bei der ersten Aufgaben 9 und 4 (nicht negativ).

Du machst bei der pq-Formel etwas falsch. Schau vielleicht mal noch hier rein:

https://www.matheretter.de/wiki/quadratischegleichung

Bei negativen u hättest du hier keine Lösungen. Das kann schon passieren.

Answer 2

x^4 - 13x^2 + 36 = 0

x^2*x^2 - 13x^2 + 36 = 0

Wir setzten mal überall wo x^2 steht z ein. Man substituiert z = x^2

z*z - 13z + 36 = 0

z^2 - 13z + 36 = 0

Das lösen wir mit der pq-Formel

z = -p/2 ± √((p/2)^2 - q) = 6.5 ± √(42.25 - 36) = 6.5 ± √(6.25) = 6.5 ± 2.5

z1 = 4
z2 = 9

Nun will man aber nicht wissen was z ist sondern was x ist

z = x^2
x = ± √z

x1,2 = ± √4 = ± 2
x3,4 = ± √9 = ± 3

Comments

Hier noch eine Skizze:

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x⁸ - 13x⁴ + 36 = 0

Substituiere: z = x^4

z^2 - 13z + 36 = 0