Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse Radioaktiver Zerfall

Question

Bei einem radioaktiven Zerfall gilt für die Masse m der zerfallenen Substanz m(t)=c*e^k*t

m(t) in g, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn

a) Bestimmen sie k und c, wenn zu beginn der Beobachtung 20g und nach 21 Tagen nur noch 2,5g dieser Substanz vorhanden sind.

b) Nach wie vielen Tagen sind nur noch 1% bzw. 1% der ursprünglichen Masse vorhanden?

c) weisen sie nach, dass nach 14 Tagen 75% zerfallen ist.

Answer 1

Bei einem radioaktiven Zerfall gilt für die Masse m der zerfallenen
Substanz m(t)=c*e^k*t
m(t) in g, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn

a) Bestimmen sie k und c, wenn zu beginn der Beobachtung
20g und nach 21 Tagen nur noch 2,5g dieser Substanz vorhanden sind.

m ( 0 ) = c * e^{k*0} = c * 1 = 20
c = 20 ( ist allgemein auch so üblich = m ( 0 ) )

m ( t ) = m ( 0 ) * e^{k*t};
m ( 21 ) = 20 * e^{k*21} = 2.5
20 * e^{k*21} = 2.5
e^{k*21} = 2.5 / 20 = 0.125  | ln ( )
k * 21 = ln(0.125)
k = -0.099

m ( t ) = 20 * e^{-0.099*t}

b) Nach wie vielen Tagen sind nur noch 1% bzw. 1% der
ursprünglichen Masse vorhanden?

m ( t ) von m ( 0 ) = 1 %
m ( t ) / m ( 0 ) = m ( t ) / 20 = 0.01

m ( t ) = 20 * e^{-0.099*t}
m ( t ) / 20 =  e^{-0.099*t} = 0.01
e^{-0.099*t} = 0.01
-0.099 * t = ln(0.01)
t = 46.52 Tage

c) weisen sie nach, dass nach 14 Tagen 75% zerfallen ist.

m ( 14 ) = 20 * e^{-0.099*14}
noch 25 % vorhanden ?
m ( 14 ) / 20  = e^{-0.099*14}  = 0.25
e^{-0.099*14}  = 0.25
0.25 = 0.25

Answer 2

a)
c = 20

2,5 = 20*e^{k*21}

k = ln (2,5/20)/21 = -0,09902...

b)

0,2 = 20*e^{k*t}

t = ln(0,2/20)/k

t = 46,5 Tage


c)

20*e^{k*14} = 5 ---> Es sind also  15g zerfallen.

20 g = 100 %

15 g = (100% / 20)*15 = 75 %

Comments

@eh684
zu c.)
Du warst das auch der vor ein paar Tagen eine ähnliche
Frage so komisch beantwortet hat ?

20*e^k*14 = 5 ---> Es sind also 15 g zerfallen.
20 g = 100 %
15 g = x %

Die Frage ist jetzt wieviel % sind 15 g von 20 g

Der richtige ( klarere ) Dreisatz wäre

15 g / 20 g = x % / 100 %
x = 15 / 20 * 100 % = 75 %

mfg Georg

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Naja, Deins ist auch falsch, wenn man die Einheiten anschaut (bei x ;)).

Auch sonst sehe ich das nicht so. Die von eh684 vorgezeigte Variante ist die meines Wissens in der Schule gelehrte. Ist also alles andere als "komisch", wenns Dir auch unbekannt sein mag.

Grüße

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@unknown
Na, ich denke meine Antwort ist auch von den Einheiten  richtig da ich
zwischen der 1.Zeile und der 2.Zeile das g schon gekürzt habe.
15 g / 20 g = x % / 100 %
x = 15 / 20 * 100 % = 75 %

Meine Kritik an an der Lösung von eh684 von c.) nehme ich
etwas zurück.
Am kürzesten ist die Beantwortung durch mathef bzw. meine
Antwort

m ( 14 ) / 20  = e^-0.099*14  = 0.25
Also sind 75 % zerfallen.

Meine Antworten schreibe meist etwas ausführlicher damit
sie auch für den Fragesteller möglichst gut nachvollziehbar sind.

Um meinen Sinn für Humor mal wieder darzustellen.
" Was geht dem Mantafahrer als letztes durch den Kopf wenn
er mit seinem Auto vor die Wand fährt ?
Der Heckspoiler.

---

Es geht mir auch nicht um das g ;).

x % / 100 %

x = 75 %

Damit hast Du x doppelt mit Prozent belegt. War aber ja auch nur eine Nebenbemerkung ;).

Wollte nur erwähnen, dass das Verfahren von eh684 völlig gewöhnlich ist. Um mehr gings mir nicht ;).

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x = 75 wäre richtig. Stimmt.

Ich sehe oben die Zeile
20 g = 100 %
und vermisse das " entspricht " Zeichen das eigentlich
anstelle des Gleichheitszeichens dorthin gehört.
Bei den Sonderzeichen habe ich es nicht gefunden.
Weißt du wo es sich versteckt ?

15 g = (100% / 20)*15 = 75 %
An der Zeile bin ich schwer ins Überlegen gekommen.

Der verwendete Dreisatz ist ( 100 % / 20 g ) sind
5 % pro g , dann mal 15 g sind 75 %. Irgendwie
erschien mir das nicht direkt einleuchtend.

Das " entspricht " Zeichen wäre klarer.

Mathematisch absolut  korrekt wäre die Verwendung
des Gleichheitszeichens bei
15 g / 20 g = x % / 100 %
da sich alle Einheiten wegkürzen und die Lösung
x = 75

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Weißt du wo es sich versteckt ?

Nein, damit kann ich nicht dienen.
Ich nutze in diesem Fall den Spiegelstrich. War bei mir damals ohnehin so üblich ;).

Answer 3

Bei einem radioaktiven Zerfall gilt für die Masse m der zerfallenen Substanz m(t)=c*e^k*t

m(t) in g, t in Tagen nach Beobachtungsbeginn

a) Bestimmen sie k und c, wenn zu beginn der Beobachtung 20g und nach 21 Tagen nur noch 2,5g dieser Substanz vorhanden sind.  

m(0)=20   und    m(21) = 2,5 das gibt

20 = c * e^0   und   2,5 =   c  *   e^{k*21}

also c=20       und   2,5 = 20 * e^{21k}

gibt 21k =  ln(2,5/20) oder  k=   ln(2,5/20) / 21 ungefähr -0,1

b) Nach wie vielen Tagen sind nur noch 1% bzw. 1% der ursprünglichen Masse vorhanden?

0,01c = c * e^{-o,1t}  gibt   0,01 =  e^{-0,1t}   also  ln(0,01) = -o,1t

d.h.  t=ln(o,o1)/(-0,1)   ungefähr  46.   Also nach 46 Tagen ist nur noch 1% da.

c) weisen sie nach, dass nach 14 Tagen 75% zerfallen ist.

m(14) = c* e^{-o,1*14} = c*0,246

Also sind ca. 25% übrig, also 75% zerfallen.