Begründe ob die Funktion bijektiv ist und berechnen die Umkehrfunktion

Question

Also ich weiss nicht wie ich dass mathematisch korrekt formulieren soll dass die Funktion bijektiv ist....

Die Umkehrfunktionist da dann ja f^-1 oder nicht?

danke

Comments

Das kommt auf die Funktion \( f \) an.

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sorry hab vergessen die Funktion hochzuladen

Answer 1

Also die Ableitung von f ist (1/2) *   1/(x+1)  ist für x aus [o;unendlich[ positiv,
also ist f streng monoton steigund, also injektiv.

Da f(0) = (1/2)*0 = 0 ist und
Da lim x gegen unendlich bei dieser Funktion +unendlich ist

ist sie auch surjektiv.

Umkehrung:  vertausche x und y und löse dann nach x auf:

x = (1/2) * ln(y+1)

2x = ln(y+1)

e^{2x} = y+1

y = e^{2x} - 1  ist die Gl der Umkehrfkt.

Answer 2

durch die Angabe einer Umkehrfunktion kann man gleichzeitig begründen, dass die Funktion bijektiv ist:

\( y \mapsto \exp(2x)-1 \).

Es ist \( y = \frac{1}{2}\log(x+1) = \frac{1}{2}\log(\exp(2y)-1+1) = y \).

Mister