dass die Menge
V = P(X) aller Teilmengen
A ⊂ X durch die Verknüpfung
+ : V × V → V, (A,B) ↦ (A ∪ B) \ (A ∩ B)
zu einer abelschen Gruppe wird:
Du musst folgende Dinge zeigen:
Abgeschlossen:
sind a und b zwei Teilmengen von X, dann ist a v b (nehme mal v für vereinigung)
auch eine Teilmenge von X und wenn man davon noch a ^ b wegnimmt, wird sie
ja allenfalls kleiner, ist also immer noch eine Teilmenge von X.
Das neutrale Element ist die leere Menge (die ist in V, da es ja auch eine Teilmenge von X ist.)
neutral weil A + {} = (s.Def.) ( A v {} ) \ ( A ^ {} ) = A \ {} = A
zu jedem A gibt es ein Inverses, Das ist A selbst
Denn A + A = ( A v A ) \ ( A ^ A) = {}
assoziativ : ist etwas länglich, muss du (A+B)+C bilden und
A (B+C). gibt beides das gleiche.
kommutativ sieht man schon an der Def. Vereinigung und Schnitt sind
beide kommutativ
