Bestimmen von Grenzwerten: lim (x^n-1)/(n(x-1)) für x-->1. Wie Polynomdivision?

Question

ich habe ein Problem bei 2 Aufgaben, bei denen ich den Grenzwert bestimmen muss, wäre super wenn ihr mir helfen könntet und erklärt wie ich vorgehen muss.

1)
limxn−1n(x−1)
x→1

Ich weiß, dass ich irgendwie die Polynomdivision anwenden muss und das 1 herauskommen muss.

2)
lim Wurzel ((1x)+1)− Wurzel (1x)
x→0+


Ich möchte mich im voraus für eure Antworten bedanken.
Gruß

EDIT: Gemeint war:

1)

lim     (xⁿ-1)/(n(x-1))

x-->1

2.)

lim        Wurzel ((1/x)+a) - Wurzel(1/x)

x-->0+

Comments

Wie meinst du

limxn−1n(x−1) 
x→1 

genau?

Ebenso hier scheint was zu fehlen:

lim Wurzel ((1x)+1)− Wurzel (1x) 
x→0+ 

1x ist einfach x.

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Entschuldigung, du hast recht mir sind einige Fehler unterlaufen:

1)

lim     x^n-1/n(x-1)

x-->1

2.)

lim        Wurzel ((1/x)+a) - Wurzel(1/x)

x-->0+

Ich habe die Aufgaben kopiert und in Eile nicht mehr Korrektur gelesen.

Danke für deine Hilfe

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mach es dir doch erst mal an einem konkreteren Fall klar:

z.B.  [Ich glaube so war das gemeint ???????

(x^7-1) / (x-1) gibt mit Polynomdivision  x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

und das 1/n stand vielleicht vor dem Bruch ?

Answer 1

Zunächst mal (1)
$$ \lim_{x \to 1} \frac{1}{n}\frac{x^n-1}{x-1}  $$
Der Ausdruck \( \frac{x^n-1}{x-1} \) ergibt mittels Polynomdivision \( \frac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+...+x+1 \) Das eingesetzt ergibt
$$ \lim_{x \to 1} \frac{1}{n}\frac{x^n-1}{x-1}=\lim_{x \to 1} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} x^k=\frac{1}{n}\cdot n=1 $$

Jetzt (2)
$$ \lim_{x \to 0} \left( \sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\frac{1}{x}} \right) $$
Es gilt \( \sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{\left(\sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\frac{1}{x}}\right)\left( \sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right)}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\frac{a}{\sqrt{\frac{1}{x}+a}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{1+ax}+1} \)
Also gilt
$$ \lim_{x \to 0} \left( \sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\frac{1}{x}} \right)=\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{1+ax}+1}=0 $$